Deposito Algebra lineal (4)

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10 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
1.3.1 Determinantes de orden 2 y 3 
- El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 se puede calcular de la siguiente 
manera: |�| = =
�� 
��
�� 
��= = 
��
�� − 
��
�� 
- El determinante de una matriz cuadrada de orden 3 se puede calcular mediante el 
siguiente método conocido como la regla de Sarrus: 
|�| = >
�� 
�� 
�?
�� 
�� 
�?
?� 
?� 
??> = 
��
��
?? + 
��
?�
�? + 
��
�?
?� 
 	−	
?�
��
�? − 
��
�?
?� 	− 
��
��
?? 
1.3.2 Determinante de cualquier orden 
Para calcular el determinante de una matriz de dimensión mayor o igual que 4, es necesario 
introducir los siguientes conceptos: 
Definición: Dada una matriz � ∈ ��, el menor complementario del elemento 
�� se denota por @�� y es el determinante de la submatriz que resulta al eliminar la �-ésima fila y la %-ésima 
columna de la matriz �. 
Definición: Dada una matriz � ∈ ��, el adjunto del elemento 
�� se denota por ��� y se calcula 
de la siguiente manera: ��� = (−1)�A�@�� 
1.3.2.1 Cálculo del determinante de una matriz de dimensión B mediante adjuntos 
El determinante de una matriz de dimensión �, se calcula realizando la suma de los productos 
de los elementos de una fila (o de una columna) por sus adjuntos. 
- Si se desarrolla la �-ésima fila: |�| = ∑ 
�������5� 
- Si se desarrolla la %-ésima columna: |�| = ∑ 
�������5� 
1.3.3 Propiedades de los determinantes 
- Al intercambiar dos filas o dos columnas de un determinante, su valor cambia de signo. 
- Al multiplicar una fila o una columna de un determinante por un escalar, su valor 
numérico queda multiplicado por ese escalar. 
- Si en un determinante una fila (o una columna) es combinación lineal* de otras filas (u 
otras columnas), su valor es cero. Por tanto, en un determinante las filas son linealmente 
independientes** si y sólo si las columnas son linealmente independientes. 
 
11 Matriz y determinante 
*Definición: Sean C�, C�, … . , C� las � filas de la matriz �. Una fila C� es combinación lineal de 
las demás filas si existen (� − 1) escalares @�, @�, … . , @�D�, @�A�, … , @� ∈ ℝ para los cuales se 
cumple que: 
C� = @�C� + @�C� +	… .+@�D�C�D� + @�A�C�A� +⋯+	@�C� 
La definición de combinación lineal de columnas se formula de similar manera. Así, una 
columna ,� de la matriz � es combinación lineal del resto de columnas, si existen (� − 1) 
escalares E�, E�, … . , E�D�, E�A�, … , E� ∈ ℝ para los cuales se cumple que: 
,� = E�,� + E�,� +	… .+E�D�,�D� + E�A�,�A� +⋯+	E�,� 
**Definición: Cuando una fila (o una columna) es combinación lineal de otras filas (o de otras 
columnas), se dice que las filas (o las columnas) son linealmente dependientes. En caso 
contrario, se dice que éstas son linealmente independientes. 
- Si en un determinante una fila (o una columna) es suma de varios elementos, el 
determinante se puede escribir como suma de varios determinantes de la siguiente 
manera: 
<<
					
��						 					
��					 	⋯						
��					 							
��					 	⋯⋮ ⋮ 		⋱ 		
��										 ⋯ 				
��
��														 ⋯ 				
��⋮										 ⋮ 						⋮'�� + .�� '�� + .�� …⋮ ⋮ ⋮
�� 
�� …
			'�� + .�� 					⋯ '�� + .��⋱ 						⋮ ⋮			
�� 				⋯ 
�� <
< = 
= <<
�� 
�� ⋯
�� 
�� ⋯⋮ ⋮ ⋱
�� ⋯ 
��
�� ⋯ 
��⋮ ⋮ ⋮'�� '�� …⋮ ⋮ ⋮
�� 
�� …
'�� ⋯ '��⋱ ⋮ ⋮
�� ⋯ 
��<
< + <<
�� 
�� ⋯
�� 
�� ⋯⋮ ⋮ ⋱
�� ⋯ 
��
�� ⋯ 
��⋮ ⋮ ⋮.�� .�� …⋮ ⋮ ⋮
�� 
�� …
.�� ⋯ .��⋱ ⋮ ⋮
�� ⋯ 
��<
<
 
- Si en un determinante a una fila (o a una columna) se le suma una combinación lineal de 
otras filas (o de otras columnas), su valor no varía. 
- El determinante de una matriz triangular o diagonal, es el producto de los elementos de 
su diagonal principal. 
- |� · &| = |�| · |&| 
 
 
12 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
1.3.4 Otras formas para calcular determinantes de cualquier orden 
Las fórmulas que se han obtenido anteriormente para calcular el determinante de una matriz 
mediante adjuntos, |�| = ∑ 
�������5� o |�| = ∑ 
�������5� , resultan costosas cuando muchos de 
los elementos de la fila o de la columna seleccionada para realizar el desarrollo son no nulos. 
Sin embargo, resultan eficientes cuando varios de sus elementos son nulos. A continuación se 
muestran otros dos métodos para el cálculo de determinantes. 
1.3.4.1 Método de Chio 
Este método consiste en escoger un elemento no nulo del determinante denominado pivote y en 
anular el resto de elementos pertenecientes a su fila o a su columna. Supóngase que se toma el 
elemento no nulo FGG como pivote y que se desea anular el resto de elementos de la primera 
fila. Para ello, a la segunda columna se le suma la primera columna multiplicada por 
DFGH			FGG, a la 
tercera columna se le suma la primera columna multiplicada por 
DFGI			FGG y así sucesivamente, hasta 
la última columna a la que se le suma la primera multiplicada por 
DFGB		FGG . De esta manera, se 
consigue que todos los elementos de la primera fila excepto el elemento FGG	 sean nulos. A 
continuación se desarrolla el determinante por los adjuntos de la primera fila, con lo que sólo 
habrá que calcular un adjunto, el correspondiente al elemento FGG. 
1.3.4.2 Escalonamiento de la matriz 
Este método se basa en convertir la matriz inicial en una matriz escalonada o triangular 
utilizando la quinta propiedad de los determinantes. Así, el valor del determinante será el 
producto de los elementos de la diagonal principal. 
1.4 Traspuesta de una matriz 
Definición: Dada una matriz � = �
��� ∈ ����, su traspuesta se denota por �J = �'��� ∈ ���� 
y se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y viceversa, sin variar el orden de las 
mismas: '�� = 
�� ∀� = 1, 2,… , �, ∀% = 1, 2, … , � 
Propiedades de la traspuesta de una matriz: 
- (�J)J = � 
- (� + &)J = �J + &J 
- (� · &)J = &J · �J 
- (/ · �)J = / · �J , siendo / ∈ ℝ 
- |�| = |�J|