Deposito Algebra lineal (5)

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13 Matriz y determinante 
Definición: Una matriz cuadrada � = �
��� ∈ ��	 es simétrica si cumple que � = �J, o lo que 
es lo mismo si 
�� = 
�� ∀� = 1, 2,… , �, ∀% = 1, 2, … , �. 
Definición: Una matriz cuadrada � = �
��� ∈ ��	 es antisimétrica si cumple que � = −�J, es 
decir, si 
�� = −
�� ∀� = 1, 2, … , �, ∀% = 1, 2, … , �. 
1.5 Matriz inversa 
Definición: Una matriz cuadrada � es regular si existe su inversa (el elemento simétrico 
respecto del producto de matrices), es decir, si existe la matriz & tal que � · & = & · � = +. 
Entonces, & es la inversa de � y se denota por �D�. En caso contrario se dice que la matriz es 
singular. 
La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea regular es que su determinante sea 
no nulo: |�| ≠ 0 ⟺ � matriz regular 
Propiedades de la matriz inversa: 
- En el caso de que exista la inversa de una matriz, ésta es única. 
- (�D�)D� = � 
- (� · &)D� = &D� · �D� 
- (�D�)J = (�J)D� 
- |�| = |�J| 
Definición: Una matriz cuadrada � = �
��� ∈ �� es ortogonal si su inversa coincide con su 
traspuesta, es decir, si se verifica que � · �J = �J · � = +, con lo que �D� = �J. 
1.5.1 Cálculo de la matriz inversa mediante adjuntos 
La inversa de una matriz se puede calcular mediante la siguiente fórmula: 
�D� = �8%(�J)|�| = ��L�J|�| 
siendo �L = 	��� ������ ��� ⋯ ���⋯ ���⋮ ⋮��� ��� ⋱ ⋮⋯ ���� la matriz adjunta que se obtiene al sustituir cada 
elemento de la matriz �	por su adjunto. 
 
14 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
1.5.2 Cálculo de la matriz inversa mediante el método de Gauss 
Para aplicar el método de Gauss se construye la matriz ampliada (�|+), siendo + la matriz 
identidad de igual dimensión que la matriz �. A continuación, se realizan operaciones por filas 
hasta obtener la matriz identidad + en la parte izquierda de la matriz ampliada. De esta forma, la 
matriz resultante en la parte derecha de la matriz ampliada es la matriz inversa �D�: 
(�|+) M�NOPQ�M�NR	S�TPRUVVVVVVVVVVVVW (+|�D�) 
Las operaciones que se pueden realizar con las filas de la matriz ampliada son: 
- Intercambiar dos filas entre sí. 
- Multiplicar las filas por cualquier escalar no nulo. 
- Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar. 
1.6 Rango de una matriz 
Definición: Dada una matriz � ∈ ����, los elementos pertenecientes a " filas y a " columnas 
prefijadas forman una submatriz de �. El determinante de esta submatriz se denomina menor de 
orden " de la matriz �. 
Teorema: Si la matriz � tiene un menor no nulo de orden /, entonces, las / filas que forman 
este menor son linealmente independientes. También son linealmente independientes las / 
columnas que determinan el menor. 
Definición: El rango de una matriz � es el orden del mayor menor no nulo de dicha matriz y se 
denota por XY(�) o X
�YZ(�). 
Propiedades del rango de una matriz: 
- El rango de una matriz no varía al multiplicar una columna (o una fila) por un escalar no 
nulo. 
- El rango de una matriz no varía si a una columna (o a una fila) se le suma una 
combinación lineal de otras columnas (o de otras filas). 
- El rango de una matriz no varía si se suprime una columna (o una fila) que sea 
combinación lineal de otras columnas (o de otras filas). 
 
15 Matriz y determinante 
1.7 Potencia de una matriz 
Dada una matriz cuadrada � ∈ ��, su potencia �-ésima se calcula multiplicando � por ella 
misma � veces: 
�� = � · � · � · … · �[\\\]\\\^�	_NQNR donde � ∈ ℕ 
Propiedades de la potencia de una matriz: 
- ∀�, 7 ∈ ℕ, �� · �2 = ��A2 
- ∀�, 7 ∈ ℕ, (��)2 = ��·2 
- Si � es regular, entonces: ∀� ∈ ℕ, (�D�)� = (��)D� 
- Si � es regular, entonces: ∀�, 7 ∈ ℕ, �D� · �D2 = �D(�A2) 
- Si � es regular, entonces: ∀�, 7 ∈ ℕ, (�D�)D2 = ��·2