Deposito Algebra lineal (6)

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16 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
P1. Hallar la matriz simétrica � que sumada a la matriz � = �			3 −1 0−4 			1 2			2 			0 5
 da como resultado 
la matriz � = �			5 −2 4−5 			2 7			6 			5 8
. 
 
RESOLUCIÓN 
Se considera una matriz genérica � = ���� ��� ������ ��� ������ ��� ���
 que debe ser de dimensión 3x3 para 
poder realizar la suma con la matriz	�. 
� + � = �	 ⇒ ���� ��� ������ ��� ������ ��� ���
 + �
			3 −1 0−4 			1 2			2 			0 5
 = �
			5 −2 4−5 			2 7			6 			5 8
 
Sumando e igualando términos se tiene 
���
��
���
� ��� + 3 = 5			��� − 1 = −2��� + 0 = 4			��� − 4 = −5��� + 1 = 2��� + 2 = 7��� + 2 = 6��� + 0 = 5��� + 5 = 8
� 	⇒ 			
���
��
���
� ��� = 2			��� = −1��� = 4			��� = −1��� = 1��� = 5��� = 4��� = 5��� = 3
� 
La matriz solución es � = �			2 −1 4−1 			1 5			4 			5 3
 
 
 
P2. Hallar todas las matrices reales que conmutan con la matriz � = �			2 1−1 2�. 
 
RESOLUCIÓN 
La matriz buscada es una matriz = �� !" #� tal que � · = · � 
 
17 Matriz y determinante 
� · = · � ⇒ �			2 1−1 2� �� !" #� = �� !" #� �			2 1−1 2� ⇒ 
																																					⇒ 	% 2� + " = 2� − !2! + # = � + 2!−� + 2" = 2" − #−! + 2# = " + 2#� 	⇒ 	 &
� = #	! = −"� 			∀	#, " ∈ ℝ 
Por tanto existen infinitas matrices que conmutan con la matriz � y vienen dadas por 
�# −"" 		#�	∀	#, " ∈ ℝ 
 
 
P3. Calcular el valor del parámetro + para que la matriz simétrica � = �+ 			++ −+� sea ortogonal. 
 
RESOLUCIÓN 
Para que la matriz simétrica � sea ortogonal debe cumplir: � · �, = - ⇔ �/� = �,. Entonces 
�+ 			++ −+� �+ 			++ −+� = �1 00 1� ⇒ 02+� 00 2+�1 = �1 00 1� ⇒ 2+� = 1 ⇒ + = ± 1√2 
Se obtienen dos valores del parámetro +, por lo que existen dos matrices ortogonales 
- Cuando + = �√� ⇒ �� = 4 �√� 				 �√��√� − �√�5. 
- Cuando + = − �√� ⇒ �� = 4− �√� − �√�− �√� 				 �√�5. 
Se puede comprobar que efectivamente las matrices �� y ��	 son ortogonales ya que cumplen la 
igualdad �, = �/�. 
��, = ��/� =
67
8 1√2 				 1√21√2 − 1√29:
;												 	��, = ��/� =
67
8− 1√2 − 1√2− 1√2 				 1√29:
;
 
 
 
 
 
 
 
18 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
P4. Calcular el determinante de la matriz � = 4−3 			2 		−1 −1			2 −2 					4 			6			5−2 			4			3 	−5				6 			3			6 5 escalonando la matriz. 
 
RESOLUCIÓN 
|�| = =−3 			2 −1 −1			2 −2 			4 			6			5−2 			4			3 −5		6 		3		6 =
1 2F F↔
= (−1) =			2 −2 				4 			6−3 			2 	−1 −1			5−2 			4			3 	−5				6 			3			6=
1
1
2
F
= 
(−2) =			1 −1 			2 				3−3 			2 −1 −1			5−2 		4		3 −5		6 			3			6=
2 1
3 1
4 1
3
5
2
F F
F F
F F
+
−
+
= (−2) =			1 −1 					2 						3			0 −1 					5 						8			0			0 			9			1 −15				10 −12			12=
3 2
4 2
9F F
F F
+
+
= 
(−2) =			1 	−1 				2 					3			0 	−1 				5 					8			0			0 				0				0 		30		15 			60			20=
4 3
1
2
F F−
= (−2) =			1 	−1 				2 								3			0 	−1 				5 								8			0			0 				0				0 		30			0 					60		−10= 
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal 
principal. Por lo que		|�| = (−2) · 1 · (−1) · 30 · (−10) = −600 
 
 
P5. Calcular la matriz A que cumple la ecuación	� · A − �, · B = C� + ��D, siendo las matrices 
� = �			4 1 −2			1 2 −1−2 1 			0
,	B = �
2 0 00 2 00 0 2
,	C = �
			1 2 −2−1 0 			2				0 2 			0
 y D = �
−6 −12 −2			6 −22 −8	12 		4 −6
. 
 
RESOLUCIÓN 
Despejando A	de la ecuación se tiene 
� · A − �, · B = C� + 12D ⇒ � · A = �, · B + C� + 12D ⇒ A = �/� · 0�, · B + C� + 12D1 
Se obtiene el determinante de la matriz � 
|�| = E			4 1 −2			1 2 −1−2 1 			0E = 1 · (−1) · (−2) + 1 · 1(−2) − 2 · (−2) · (−2) − 1 · (−1) · 4 
 = 2 − 2 − 8 + 4 = −4 ⇒ |�| = −4