Deposito Algebra lineal (7)

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19 Matriz y determinante 
� es una matriz regular, por tanto, existe su matriz inversa �/� que se calcula de la siguiente 
manera 
�/� = 1|�| (�F), 
Se calculan los adjuntos de los elementos de � 
��� = (−1)�G� H2 −11 			0H = 1															��� 		= (−1)�G� H			1 −1−2 			0H = 2 
��� 		= (−1)�G� H			1 2−2 1H = 5													��� 		= (−1)�G� H1 −21 			0H = −2																				 
��� = (−1)�G� H			4 −2−2 			0H = −4								��� = (−1)�G� H			4 1−2 1H = −6 
��� = (−1)�G� H1 −22 −1H = 3															��� = (−1)�G� H4 −21 −1H = 2		 
��� = (−1)�G� H4 11 2H = 7 
La matriz adjunta correspondiente es �F = �			1 			2 			5−2 −4 −6			3 			2 			7
 ⇒ I�FJ, = �
1 −2 32 −4 25 −6 7
 
Por lo que la inversa de la matriz � viene dada por �/� = 6
8−1 4K 1 2K −3 4K−1 2K 1 −1 2K−5 4K 3 2K −7 4K 9
; 
Por otro lado, se calcula		C� = �			1 2 −2−1 0 			2			0 2 			0
�
			1 2 −2−1 0 			2			0 2 			0
 = �
−1 −2 2−1 			2 2−2 			0 4
 
Como A = �/� · ��, · B + C� + ��D�, se calcula la expresión (�, · B + C� + ��D) 
�, · B + C� + 12D =	 
=	�			4 			1 −2			1 			2 			1−2 −1 			0
�
2 0 00 2 00 0 2
 + �
−1 −2 2−1 			2 2−2 			0 4
 + ���
−6 −12 −2		6 −22 −8	12 			4 −6
 
																			= �			8 				2 		−4			2 				4 					2−4 	−2 					0
 + �
−1 −2 2−1 			2 2−2 			0 4
 + �
−3 −6 −1			3 −11 −4			6 			2 −3
 
�, · B + C� + 12D = �4 −6 −34 −5 			0	0 			0 			1
 
 
20 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Finalmente, se obtiene A 
A = �/� · ��, · B + C� + ��D� = 6
8−1 4K 1 2K −3 4K−1 2K 1 −1 2K−5 4K 3 2K −7 4K 9
;·�4 −6 −3	4 −5 0	0 		0 1 
 
A = �	1 −1 0	2 −2 1	1 			0 2
 
 
 
P6. Dadas las matrices � = � 		2 −1−1 			1�, = �			3 			5−2 −3� y C = � 		1 			3−3 −2�, resolver el sistema 
matricial		&� · A − � · L = A − 2L = C �	
 
RESOLUCIÓN 
Se despeja A de la segunda ecuación del sistema y se sustituye en la primera 
&� · A − � · L = A − 2L = C � ⇒ &� · A − � · L = A = C + 2L � �(C + 2L) − �L = ⇒ �C + 2�L − �L = ⇒	�C + �L = ⇒ �L = − �C ⇒ 
		⇒ L = �/�( − �C) ⇒ L = �/� − C 
Se calcula �/� mediante la igualdad �/� = �|M| (�F), 
|�| = H 		2 −1−1 			1H = 2 − 1 = 1 ��� = (−1)�G�1 = 1																					��� = (−1)�G�(−1) = 1 					��� 		= (−1)�G�(−1) = 1												��� = (−1)�G�2 = 2 
									�F = �1 11 2� 			⇒ 			 I�FJ, = �1 11 2� 		⇒ 	�/� = �1 11 2� 
Por tanto 
L = �/� · − C = �1 11 2� �			3 			5−2 −3� − �			1 			3−3 −2� = 	 �			1 			2−1 −1� − �			1 			3−3 −2� ⇒ 
L = �0 −12 			1� 
Una vez que la matriz 	L es conocida se calcula A = C + 2L, que resulta 
A = �			1 			3−3 −2� + 2 �0 −12 			1� = �1 11 0� 
 
21 Matriz y determinante 
 
P7. Calcular la inversa de la matriz � = �2 		1 01 −1 21 		0 1
 utilizando el método de Gauss. 
 
RESOLUCIÓN 
Intercambiando las filas de la matriz � entre sí y realizando operaciones con las mismas se tiene 
�2 			1 01 −1 21 			0 1	E	
1 0 00 1 00 0 1
 1 2
F F↔
⇒ �1 −1 22 			1 01 			0 1	E	
0 1 01 0 00 0 1
2 1
3 1
2F F
F F
−
−
⇒ �1 −1 			20 			3 −40 			1 −1	E	
0 			1 01 −2 00 −1 1
 2 3
F F↔
⇒ 
�1 −1 			20 			1 −10 			3 −4	E	
0 			1 00 −1 11 −2 0
1 2
3 23
F F
F F
+
−
⇒ �1 0 			10 1 −10 0 −1	E	
0 			0 			10 −1 			11 			1 −3
 3
( 1)F−
⇒ �1 0 			10 1 −10 0 			1	E	
			0 			0 1			0 −1 1−1 	−1 3
1 3
2 3
F F
F F
−
+
⇒ 
�1 0 00 1 00 0 1	E	
			1 			1 −2−1 −2 			4−1 −1 			3
 
Entonces, la matriz inversa de �	es �/� = �			1 			1 −2−1 −2 			4−1 −1 			3
. 
Se comprueba que efectivamente esta matriz es la inversa de la matriz � 
 
� · �/� = �2 			1 01 −1 21 			0 1
�
			1 			1 −2−1 −2 			4−1 −1 			3
 = �
1 0 00 1 00 0 1
 = - 
 
 
P8. Calcular el rango de la matriz � = 4−2 1 			� 			4			2 1 			� 			3			�� 35 −2 −2				1 			�5 en función del parámetro real �. 
 
RESOLUCIÓN 
Como � es una matriz cuadrada con un parámetro, se comienza estudiando el mayor menor de 
la matriz y a partir de este menor se obtienen los casos particulares. Para resolver el 
determinante de la matriz se utiliza el método de Chio, tomando como pivote el elemento ��� = 1 y haciendo ceros en su columna 
=−2 1 			� 			4			2 1 			� 			3			�� 35 −2 −2			1 			�=
1 2F F−
= 	 O−4 0 			0 				1			2 1 			� 				3			�� 35 −2 −2			1 				�O
3 23F F−
= 	 O −4 0 							0 														1			2 1 							� 														3		� − 6	� 05 −2 − 3� 			−11								1 														�	O