Deposito Algebra lineal (8)

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22 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
																																														 4 25F F−= 	 = −4 0 								0 															1			2 1 								� 															3		 � − 6� − 10 00 −2 − 3� 						−11										1 − 5� 							� − 15	= 
Se resuelve el determinante por los adjuntos de la segunda columna y se tiene que 
(−1)�G� · 1 · E 		−4 	0 		1� − 6 −2 − 3� −11		� − 10 				1 − 5� � − 15E	= E
		−4 	0 1� − 6 −2 − 3� −11		� − 10 			1 − 5� � − 15E 
Se aplica el método de Chio de nuevo y se resuelve el determinante por los adjuntos de los 
elementos de la primera fila 
1 34C C+
= E 0 0 1			� − 50 −2 − 3� −11	5� − 70 			1 − 5� � − 15E = (−1)�G� · 1 · H		� − 50 −2 − 3�5� − 70 			1 − 5�H 																					= (� − 50)(1 − 5�) − (5� − 70)(−2 − 3�) 
																					= � − 5�� − 50 + 250� − (−10� − 15�� + 140 + 210�) = 10�� + 51� − 190 
Se calculan los valores de 	� para los que se anula el determinante de �, estableciéndose así los 
diferentes casos posibles 
10�� + 51� − 190 = 0 ⇔ % � = 52� = −385
� 
 
Caso 1: Si � ≠ Q�		 y � ≠ − �RQ 	⇒ 	ST(�) = 4 
 
Caso 2: Si � = Q� 		⇒ 	ST(�) ≤ 3 
� = V −2 1 	5 2⁄ 			4			2 1 	5 2⁄ 			3		5 2⁄5 2⁄ 35 −2 		−2						1 				5 2⁄ X 
Véase cuál es el rango de � 
E−2 1 5/2			2 1 5/25/2 3 −2 E = 38 ≠ 0	 ⇒	 ST(�) = 3 
 
 
Caso 3: Si � = − �RQ 			⇒ 		ST(�) ≤ 3 
� = V −2 1 −38/5 			4			2 1 −38/5 			3		−38/5−38/5 35 −2 							−2							1 				−38/5X 
 
23 Matriz y determinante 
 
Véase cuál es el rango de � 
E −2 1 −38/52 1 −38/5−38/5 3 −2 E = −416/5 ≠ 0	 ⇒	 ST(�) = 3 
 
En conclusión 
Caso 1: Si � ≠ Q� 		y		� ≠ − �RQ ⇒	 ST(�) = 4 
Caso 2: Si � = Q� 		⇒	 ST(�) = 3 
Caso 3: Si � = − �RQ ⇒	 ST(�) = 3 
 
 
P9. Hallar el rango de la matriz � = �−4 				4� 2�4� 			−4 −3 + !−4 							4� −2 
 en función de los parámetros 
reales � y !. 
 
RESOLUCIÓN 
Procediendo de forma similar al ejercicio anterior 
|�| = E −4 				4� 				2�			4� 			−4 −3 + !−4 				4� −2 E 1 3
F F−
= E 			0 				0 2� + 2			4� 	−4 −3 + !−4 		4� −2 E = (−1)�G�(2� + 2) H	4� −4−4 4�H 													= 2(� + 1) (16�� − 16)[\\\]\\\^ =�_(`/�)(`G�) 32(� + 1)�(� − 1) 
|�| = 0 ⇔ &	� = −1				� = 				1				� ∀!	 ∈ ℝ 
 
Caso 1: Si � ≠ 1	 y � ≠ −1		∀!	 ∈ ℝ	 ⇒ ST(�) = 3 
 
Caso 2: Si � = 	1	∀!	 ∈ ℝ	 ⇒ ST(�) ≤ 	2 
� = �−4 						4 		2			4 			−4 −3 + !−4 						4 −2 
 
Las dos primeras columnas son proporcionales, por lo que ST(�) = ST a			4 			2−4			4 −3 + !−2 b. 
Se calcula el rango de esta matriz 
 
24 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
H4 			24 −2H = −8 − 8 = −16 ≠ 0	 ⇒ ST(�) = ST( ) = 2 
 
Caso 3: Si � = −	1		∀!	 ∈ ℝ	 ⇒ ST(�) ≤ 	2 
� = �−4 				−4 	−2−4 			−4 −3 + !−4 				−4 −2 
 
Las dos primeras columnas son idénticas, además en este caso la primera y la última fila 
también coinciden, por tanto ST(�) = ST �−4 −2−4 −3 + !�. 
H−4 −2−4 −3 + !H = −4(−3 + !) − 8 = 12 − 4! − 8 = −4! + 4 
Caso 3.1: Si !	 = 	1	 ⇒ 	 | | = 0 ⇒ 		ST(�) = 1 
Caso 3.2: Si !	 ≠ 	1	 ⇒ | | ≠ 0 ⇒ 		ST(�) = 2 
 
Resumiendo 
Caso 1: Si � ≠ 1	y	� ≠ −1	∀!	 ∈ ℝ	 ⇒ 	ST(�) 	= 	3 
Caso 2: Si		� = 1, ∀!	 ∈ ℝ	 ⇒ 	ST(�) 	= 	2 
Caso 3: Si � = −1: 
Caso 3.1: Si � = −1 y ! = 1	 ⇒ 		ST(�) = 1 
Caso 3.2: Si � = −1 y ! ≠ 1 ⇒ 		ST(�) = 2 
 
 
P10. Hallar el rango de la matriz � = �� − 1 			! + 1 				!! 		� 				!1 −� 				1
	 en función de los parámetros 
reales � y !. 
 
RESOLUCIÓN 
Procediendo de forma similar a los ejercicios anteriores 
|�| = E� − 1 			! + 1 				!! 		� 				!1 −� 				1E 1 3
C C−
= E� − ! − 1 			! + 1 				!0 		� 				!0 −� 				1E = (� − ! − 1)(� + �!) 															= (� − ! − 1)�(! + 1) = −�(! + 1)(! − (� − 1)) 
Por tanto |�| = −�(! + 1)(! − (� − 1)) = 0 ⇔ d	� = 0											! = −1								! = � − 1			�