Deposito Algebra lineal (10)

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28 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
C3. Dadas las matrices regulares del mismo orden	�,	 	y	C, despejar A en las siguientes 
expresiones matriciales: 
a) A · � = /� − � 
b) � · A, + = C 
 
RESOLUCIÓN 
a) A · � = /� − � ⇒ A · � · �/� = ( /� − �) · �/� ⇒ A · - = /� · �/� − � · �/� ⇒ 
A = (� · )/� − - 
 
b) � · A, + = C ⇒ (� · A, + ), = C, ⇒ (� · A,), + , = C, ⇒ 
				(A,), · �, = C, − , ⇒ A · �, = C, − , ⇒ A · �, · (�,)/� = (C, − ,) · (�,)/� ⇒ 
				A = (C − ),(�,)/� 
 
 
 C4. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 
 a) Si � y son dos matrices regulares entonces �� · y �, · � · también lo son. 
 b) Si � es una matriz singular su inversa también lo es. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Si � y son dos matrices regulares, por definición se tiene que |�| ≠ 0 y | | ≠ 0. Véase 
ahora si �� · y �, · � · son regulares o no 
|�� · | = |��|| | = |�||�|[]^|Mg| | | ≠ 0 ⇒�� · es regular. 
|�, · � · | = |�, · �|| | = |�,|h|M| |�|| | = |�|�| | ≠ 0 ⇒ �, · � · es regular. 
Por lo que la afirmación es cierta. 
 
b) Si i	es una matriz singular |i| = j ⇒	∄i/l. Entonces, la afirmación es falsa. 
 
 
 
 
 
29 Matriz y determinante 
 
C5. Hallar todas las matrices reales de orden 3x3 que sean simétricas y antisimétricas a la vez. 
 
RESOLUCIÓN 
Si � ∈ m�n�(ℝ) es una matriz simétrica se cumple que � = �,, entonces 
� = ���� ��� ������ ��� ������ ��� ���
 
Si � ∈ m�n�(ℝ) es una matriz antisimétrica se cumple que 	� = −�,, por lo que 
� = � 		0 		��� ���−��� 	0 ���−��� −��� 	0 
 
Por tanto, si � ∈ m�n�(ℝ) es una matriz simétrica y antisimétrica a la vez se tiene que � = �, = −�, 
� = ���� ��� ������ ��� ������ ��� ���
=�
		0 		��� ���−��� 	0 ���−��� −��� 	0 
 ⇒ %
��� = ��� = ��� = 0��� = −��� ⇒ ��� = 0��� = −��� ⇒ ��� = 0��� = −��� ⇒ ��� = 0
� 
Es decir, la única matriz que es simétrica y antisimétrica a la vez es la matriz nula 
� = �0 0 00 0 00 0 0
 
 
 
C6. Indicar el valor de las siguientes expresiones: 
 
a) (� − )� − (� + ) · � + (� + )� − �� + 2 · � 
b) �o(� · /�)/�( · �,),p/�( · ,), − �, · ( · �,)/� 
c) �, · (� − ), − (� − )� − (� · ,), si �	y son matrices simétricas 
d) (� + ) · � − o(� + ) · �p, + o( �), − � · p, − o(��), − · �p, si �	y son matrices 
simétricas 
e)	(�� − ), − (� · )/� + /� − (�/�)� + (� · ), si �	y 	son matrices ortogonales 
 
RESOLUCIÓN 
a) (� − )� − (� + ) · � + (� + )� − �� + 2 · � = (� − ) · (� − ) − (� + ) · � + (� + ) · (� + ) − �� + 2 · � 
 
30 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
= �� − � · − · � + � − �� − · � + �� + � · + · � + � − �� + 2 · � = 2 � + · � 
 
b) � · o(� · /�)/�( · �,),p/�( · ,), − �, · ( · �,)/� = � · o( /�)/� · �/� · (�,), · ,p/�( · ,), − �, · ( · �,)/� = � · o · �/� · � · ,p/�( · ,), − �, · ( · �,)/� = � · o · ,p/� · ( ,), · , − �, · ( · �,)/� = � · o · ,p/� · ( . ,) − �, · ( · �,)/� = � − �, · ( · �,)/� = � − �, · (�,)/� · /� = � − /� 
 
c) �, · (� − ), − (� − )� − (� · ,), = �, · (�, − ,) − (�� − � · − · � + �) − ( ,),�, = (�,)� − �, · , − �� + � · + · � − � − · �, = �� − � · − �� + � · + · � − � − · � = − � 
 
d) (� + ) · � − o(� + ) · �p, + o( �), − � · p, − o(��), − · �p, 
= � · � + · � − o�, · (�, + ,)p + o( ,)� − � · p, − o(�,)� − · �p, 
= �� + · � − o� · (� + )p + o � − � · p, − o�� − · �p, 
= �� + · � − �� − � · + ( �), − , · �, − (��), + �, · , 
= �� + · � − �� − � · + ( ,)� − · � − (�,)� + � · = � − �� 
 
e) (�� − ), − (� · )/� + /� − (�/�)� + (� · ), = 
= (��), − , − ( /� · �/�) + , − (�,)� + , · �, = 
= (�,)� − , · �, − (�,)� + , · �, = 0