Deposito Algebra lineal (16)

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46 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
Se comprueba que �1 y �2 son matrices ortogonales, es decir, que verifican la ecuación �� = �QH 
 
 
 
47 Sistema de ecuaciones lineales 
2 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
2.1 Introducción 
Definición: Se llama sistema de � ecuaciones lineales con � incógnitas al conjunto de � 
igualdades del tipo: 
��
������ + ��
�
 + ⋯+ ����� = ���
��� + �
�
 + ⋯+ �
��� = �
⋮����� + ��
�
 + ⋯+ ����� = ��
� 
siendo ��� los coeficientes, �� los términos independientes pertenecientes a ℝ y �� las incógnitas 
del sistema. 
Algunas consideraciones: 
- Cualquier �-tupla ���, �
, … , ��� ∈ ℝ� que al sustituirse en el sistema de ecuaciones 
lineales verifica todas las igualdades, es solución del sistema. 
- Si un sistema de ecuaciones tiene solución, se dice que es un sistema compatible. En 
caso contrario, se dice que es incompatible. 
- Un sistema compatible puede tener una única solución o varias soluciones. Cuando la 
solución es única el sistema es compatible determinado y cuando posee varias 
soluciones, el sistema es compatible indeterminado. 
- Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo cuando todos los términos 
independientes son nulos, es decir, �� = 0, ∀� = 1,2,… , �. Un sistema homogéneo 
siempre es compatible, ya que la solución trivial �� = 0, ∀ = 1,2,… , � es siempre 
solución del mismo. 
- La representación matricial del sistema de ecuaciones lineales es: 
!
"#
��� ��
�
� �
 ⋯ ⋯ ���⋯ ⋯ �
�⋮ ⋮⋮ ⋮��� ��
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ ���%
&'())))))))*))))))))+, !
"#
���
⋮⋮��%
&'(*+-.
=
!
"#
���
⋮⋮��%
&'(*+/0.
⟹ 2 · �. = �0. 
 
48 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
siendo 2 la matriz de los coeficientes, �. el vector de las incógnitas y �0. el vector de los términos 
independientes. 
Asimismo, se define matriz ampliada como la matriz que se construye solapando a la matriz de 
los coeficientes 2 el vector de términos independientes �0. y se denota por 4 o �25�0.�: 
4 = �25�0.� =
!
"#
��� ��
�
� �
 ⋯ ⋯ ���⋯ ⋯ �
�⋮ ⋮⋮ ⋮��� ��
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ ���6
6���
⋮⋮��%
&' 
2.2 Teorema de Rouché-Fröbenius 
Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si, el rango de la matriz de 
los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada: 
7892: = 7894: 
- Si 7892: = 7894: = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. 
- Si 7892: = 7894: < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. 
En caso contrario, el sistema de ecuaciones es incompatible y se cumple que: 
	7892: ≠ 7894: 
Nota: En el caso particular de los sistemas homogéneos, siempre se cumple que 7892: =7894:, por lo que éstos siempre son compatibles. 
2.3 Regla de Cramer 
La regla de Cramer se utiliza para resolver un sistema lineal de ecuaciones en él que el número 
de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y la matriz de los coeficientes es regular. Es 
decir, cuando el sistema es compatible determinado. 
Sea un sistema de � ecuaciones lineales y � incógnitas: 
>����� + ��
�
 + ⋯+ ����� = ���
��� + �
�
 + ⋯+ �
��� = �
⋮����� + ��
�
 + ⋯+ ����� = ��
� 
siendo |2| ≠ 0. Utilizando la regla de Cramer cada incógnita genérica �� se calcula dividiendo 
el determinante resultante al sustituir en la matriz de los coeficientes la columna i-ésima por el