Deposito Algebra lineal (22)

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64 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
�−3� + � + 3� = 0� − 3� + � = 03� − � − 3� = 0 � ⇔ �
� = E� + 3� = 3E−3� + � = −E� 
Se calculan los valores de las incógnitas �	y � 
� = B'X '"X !B! =	 'XY ; 				� = B			! 'X"' "XB! =	 %XY 
La solución del sistema en este caso es 
M���N = �
000� + EQ
13 5R4 5R S ∀λ ∈ ℝ 
 
Caso 3: Si D = −1 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �0 		1 31 		0 13 −1 0� ⇒ B1 30 1B = 1 ≠ 0 ⇒ ���
� = 2 ���
� = 2 < número de incógnitas = 3 ⇒ Sistema Compatible Indeterminado. Procediendo de 
forma similar al caso anterior 
�� + 3� = 0� + � = 03� − � = 0� ⇔ �
� = E� + 3� = 0� = −E � ⇔ �
� = E� = −3�� = −E � 
Por lo que, la solución del sistema es 
M���N = �
000� + E�
			1			3−1� ∀λ ∈ ℝ 
 
Caso 4: Si D =	2	⇒ ���
� ≤ 2 
	
 = �3 			1 31 			3 13 −1 3� ⇒ B1 33 1B = −8	 ≠ 0 ⇒ ���
� = 2 < número de incógnitas = 3 ⇒ 
Sistema Compatible Indeterminado. 
Se plantea el sistema equivalente utilizando el menor anterior 
�3� + � + 3� = 0� + 3� + � = 03� − � + 3� = 0� ⇔ �
� = E� + 3� = −3E3� + � = −E � 
Por último, se obtienen los valores de � y de � 
� = B−3E 3−E 1B−8 = 0; 					� = B
1 −3E3 −E B−8 = 	−E 
 
65 Sistemas de ecuaciones lineales 
La solución del sistema en este caso es 
M���N = �
000� + E�
			1			0−1� ∀λ ∈ ℝ 
 
 
P11. Discutir el sistema de ecuaciones lineales � � + �� − � = 1� + D� + 2�� = D� + � − � = 0 � en función de los 
parámetros reales D y �. Resolverlo en los casos en que sea compatible indeterminado. 
 
RESOLUCIÓN 
Se especifican la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada 

 = �1 � −11 D 	2�1 1 −1�	 �
����� = �
1 � −11 D 	2�1 1 −1		�	
1D0�	
Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes 
|
| = �1 � −11 D 2�1 1 −1� = 2�$ − � − 1 = 2�� − 1� Z� + 12[ 
|
| = 0 ⇒ 2�� − 1� Z� + 12[ = 0 ⇔ � � = 1	� = −12� 
 
Caso 1: Si	� ≠ 1	 y 	� ≠ − !$ ���
� = ���
����� = 3 =	número de incógnitas	⇒	Sistema Compatible Determinado. 
 
Caso 2: Si	� = 1 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �1 1 −11 D 			21 1 −1� �
����� = �
1 1 −11 D 			21 1 −1		�	
1D0�	
Se estudia el rango de las matrices 
 y �
|���� 
B1 −11 			2B = 3 ≠ 0 ⇒ ���
� = 2; �1 −1 11 			2 D1 −1 0� = −3 ≠ 0 ⇒ ���
����� = 3 
Entonces, ���
� = 2 ≠ ���
����� = 3 ⇒	Sistema Incompatible. 
 
 
66 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Caso 3: Si	� = − !$ ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �1 −1/2 −11 	D −11 	1 −1� �
����� = �
1 −1/2 −11 	D −11 	1 −1		�	
1D0� 
Se estudia el rango de las matrices 
 y �
|���) 
B1 −1/21 		1 B = 32 ≠ 0 ⇒ ��(
) = 2 
�1 −1/2 11 			D D1 			1 0� = −5D2 + 1 ⇒ −5D2 + 1 = 0 ⇒ D =	25 ⇒ (
Si	D = 25 ⇒ ��	�
����� = 2Si	D ≠ 25 ⇒ ��	�
����� = 3
� 
 
Caso 3.1: Si � = − !$			 y 		D = $Y ⇒ 	��(
) = ���
����� = 2 < número de incógnitas	= 3 ⇒	 
Sistema Compatible Indeterminado. 
Se resuelve el sistema en función del menor que ha determinado el rango 
*0+
0, � − �2 − � = 1� + 25� − � = 25� + � − � = 0
⇔ (� − �2 = 1 + λ� + � = λ� = λ ⇔�� *0+
0,� = 23 + λ� = −23� = λ
� 
M���N = �
			2/3−2/3		0 � + λ�
101� ∀	λ ∈ ℝ 
 
Caso 3.2: Si � = − !$ y D ≠ $Y ⇒ 	��(
) = 2 ≠ ���
����� = 3 ⇒	Sistema Incompatible. 
 
Resumiendo 
Caso 1: Si	� ≠ 1	 y	� ≠ − !$ ⇒	Sistema Compatible Determinado. 
Caso 2: Si � = 1	 ⇒ Sistema Incompatible. 
Caso 3: Si	� = − !$ 
 Caso 3.1: Si D = $Y ⇒ Sistema Compatible Indeterminado. 
 Caso 3.2: Si D ≠ $Y ⇒ Sistema Incompatible.