Deposito Algebra lineal (24)

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70 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Se compara el rango de la matriz de los coeficientes con el rango de la matriz ampliada en 
función de los valores del parámetro real � 
 
Caso 4.1: Si � ≠ −2 ⇒ ���
� = 2 ≠ ���
����� = 3 ⇒	Sistema Incompatible. 
 
Caso 4.2: Si � = −2 ⇒ ���
� = 2 = ���
����� < número de incógnitas del sistema		= 3 ⇒Sistema Compatible Indeterminado. 
Resolución del caso 4.2 �D = −1	 y � = −2� 
� −2� + 2� = 1−� + � = −2� + � − 2� = 1� ⇔ �
−2� = 1 − 2λ−� + � = −2z = λ � 
Expresando la solución en forma vectorial 
M���N = �
			3/2−1/20 � + λ�
111� ∀	λ ∈ ℝ 
 
71 Sistemas de ecuaciones lineales 
CUESTIONES RESUELTAS 
 
C1. Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: 
Sea 
 ∈ _`	�ℝ� y sea el sistema 
�� = ���. Si el término independiente ���	es proporcional a los 
coeficientes de la segunda incógnita, entonces, el sistema 
�� = ���	 es incompatible. 
 
RESOLUCIÓN 
Falso. Si el término independiente ��� es proporcional a una columna de 
, ���
� = ���
|���). 
Por tanto, el sistema es compatible determinado o compatible indeterminado dependiendo de 
que el rango sea igual o menor que el número de incógnitas del sistema. 
 
 
C2. Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: 
En un sistema de ecuaciones lineales el rango de la matriz ampliada (
|���) es siempre mayor 
que el rango de la matriz de los coeficientes 
. 
 
RESOLUCIÓN 
Falso. El rango de la matriz ampliada �
�����	 es siempre mayor o igual que el rango de la matriz 
, es decir, ��(
) ≤ ��(
|���), puesto que la matriz de los coeficientes 
 es una submatriz de la 
matriz ampliada �
�����. 
 
 
C3. Sea el sistema 
�� = ��� siendo 
 ∈ _`(ℝ). Si al menos tres columnas de la matriz 
 son 
iguales y si ��(
) = ��(
|���), determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 
a) El sistema 
�� = ��� es compatible indeterminado. 
b) El sistema tiene (a − 2) variables básicas y 2 variables libres. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Verdadero. Dado que ��(
) = ��(
|���), el sistema es compatible. Por otra parte, la matriz 
 
tiene al menos tres columnas iguales, por lo que ��(
) ≤ a − 2 ≤ a = número de incógnitas. 
Por tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado. 
 
72 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
b) Falso. Como la matriz 
 tiene al menos tres columnas iguales se tiene que ���
� ≤ a − 2, 
siendo a el número de incógnitas. Supóngase que ���
� = b, en este caso, las incógnitas que 
multiplican a los coeficientes del menor no nulo de orden b que determina el rango son las 
variables básicas y las �a − b� incógnitas restantes son las variables libres. Como se verifica 
que ���
� = b ≤ a − 2, el sistema tiene como máximo �a − 2� variables básicas y como 
mínimo 2 variables libres. 
 
 
C4. Sean la matriz 
 ∈ _`�ℝ�, el sistema lineal de ecuaciones 
�� = ��� y c� = �c!, c$, … , c`�e ∈ ℝ` una solución del mismo. Indica si las siguientes afirmaciones son 
verdaderas o falsas: 
a) Si el sistema 
�� = ��� es compatible indeterminado, entonces cualquier n-tupla del tipo b · c� ∈ ℝ` es solución del sistema. 
b) Si el sistema	
�� = ��� es homogéneo, entonces cualquier n-tupla del tipo b · c� ∈ ℝ` es 
solución del sistema. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Falso. Se utiliza un contraejemplo para demostrar que la afirmación anterior es falsa. Es 
decir, se plantea y se resuelve un sistema compatible indeterminado y se observa que un 
múltiplo de la solución no satisface las ecuaciones del sistema. 
Sea el sistema lineal de ecuaciones C � + � = 1� + � + � = −2	�. La matriz de los coeficientes y la matriz 
ampliada del sistema son 

 = 31 1 01 1 14 		�
����� = 31 1 01 1 1	B			1−24	
Se calculan los rangos de ambas matrices 
B1 01 1B = 1 ≠ 0 ⇒ ���
� = ���
����� = 2 < número de incógnitas = 3 ⇒	Sistema Compatible 
Indeterminado. 
Se resuelve el sistema		C � + � = 1� + � + � = −2	� ⇔ 	 � � = 1 − λ� = λ� + � = −2 − λ�	⇒		�
� = 1 − λ� = λ� = −3 �		cuya solución es	
M���N = �
			1			0−3� + E�
−1			1			0� ∀λ ∈ ℝ