Deposito Algebra lineal (21)

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61 Sistemas de ecuaciones lineales 
�−� + 4� − � = −1� − 	4� + � = 		13� + 6� + 2�	 = 	3� ⇔ 			 �
� = E−	4� + � = 		1 − E6� + 2�	 = 	3 − 3E� 
Se resuelve el sistema C−	4� + � = 		1 − E6� + 2�	 = 	3 − 3E� mediante la regla de Cramer 
� = B 1 − E 1		3 − 3E 2B−14 = 1 − E14 ; 			� = B
−4 1 − E			6 3 − 3EB−14 = −97 �E − 1� 
La solución del sistema es 
M���N = Q
01 14R9 7R S+ EQ
1−1 14R−9 7R S ∀	λ ∈ ℝ 
 
 
P9. Sea el sistema de ecuaciones lineales T	�D + 1�� + 2�D + 1��	 = 2D						3D�	 + �2D − 1�� = 		0																			�D + 1��	 = −4D � 
a) Discutir el sistema en función del parámetro real D. 
b) Resolver cuando sea posible. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se definen la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada y se determina el valor del 
determinante de la matriz de los coeficientes para analizar los posibles casos 

 = � 0 D + 1 2�D + 1�3D 0 �2D − 1�0 D + 1 0 � �
����� = 	��
0 D + 1 2�D + 1�3D 0 �2D − 1�0 D + 1 0 	� �
	2D	0−4D��	
|
| = � 0 D + 1 2�D + 1�3D 0 �2D − 1�0 D + 1 0 � = �−1�'I$�D + 1� U 0 2�D + 1�3D �2D − 1�U = 6D�D + 1�$ 
|
| = 0 ⇔		 KD = −1D = 			0� 
 
Caso 1: Si D ≠ −1	 y 	D ≠ 0	 ⇒ ���
� = 	���
����� = 	3 = número de incógnitas ⇒ Sistema 
Compatible Determinado. 
 
 
 
 
62 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Caso 2: Si D = −1	 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �			0 0 			0−3 0 −3			0 0 			0� ��
|����� =� 	��
			0 0 			0−3 0 −3			0 0 			0	� �
−2			0			4�� 
La primera y la última fila de la matriz 
, así como la segunda columna son nulas, por lo que ���
� = 1. 
Véase cuál es ���
|����	
B−3 0			0 4B = −12 ≠ 0		 ⇒ 	���
|���� 	= 	2 
Entonces, ���
� = 1 ≠ 	���
|���� 	= 	2 ⇒ Sistema Incompatible. 
 
Caso 3: Si D = 0 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �0 1 			20 0 −10 1 			0� �
����� = 	��
0 1 			20 0 −10 1 			0	� �
000�� 
Utilizando el siguiente menor de orden dos se obtiene el rango de la matriz 
 
B0 −11 			0B = 1 ≠ 0		 ⇒ ���
� = 2 
Una vez calculado el rango de la matriz 
, se debe calcular el rango de la matriz ampliada ��
|������. Dado que la columna que se añade es nula, el sistema es homogéneo, por tanto, es 
compatible y ���
� = 		���
����� = 	2 < número de incógnitas = 	3	⇒ Sistema Compatible 
Indeterminado. 
 
En conclusión 
Caso 1: Si D ≠ −1	 y D ≠ 0	 ⇒ ���
� = 	���
����� = 	3 = número de incógnitas ⇒ Sistema 
Compatible Determinado. 
Caso 2: Si D = −1 ⇒ ���
� = 1 ≠ 	���
����� = 	2	⇒ Sistema Incompatible. 
Caso 3: Si D = 0 ⇒ ���
� 	= 		���
|���� 	= 	2 < número de incógnitas = 3 ⇒ Sistema 
Compatible Indeterminado. 
 
b) Caso 1: Si D ≠ −1	 y D ≠ 0	 ⇒ ���
� = 	���
����� = 	3 = número de incógnitas ⇒ Sistema 
Compatible Determinado. 
T	�D + 1�� + 2�D + 1��	 = 2D						3D�	 + �2D − 1�� = 		0																			�D + 1��	 = −4D � 
Utilizando la regla de Cramer la solución del sistema es 
 
63 Sistemas de ecuaciones lineales 
				� = �			$L LI! $
�LI!�			 �$L"!�"%L LI! �|W| = !"$LLI! ; 				� = �
 			$L $�LI!�'L 		 �$L"!� "%L �|W| = "%LLI! ; 				� = �
 LI! $L'L 		 LI! "%L�|W| = 'LLI! 
 
Caso 3: Si D = 0	 ⇒ ���
� 	= 		���
����� = 	2 < número de incógnitas = 3 ⇒ Sistema 
Compatible Indeterminado. 
El sistema a resolver es �� + 2� = 0−� = 0			� = 0 ⇔		� C−� = 0� = 0 � y su solución M
���N = E �
100�	 ∀λ ∈ ℝ 
 
 
P10. Resolver el sistema homogéneo		T�D + 1�� + � + 3� = 0� + �D + 1�� + � = 03� − � + �D + 1�� = 0� en función del parámetro real D. 
 
RESOLUCIÓN 
Al tratarse de un sistema homogéneo, el sistema es compatible, es decir, ���
� = ���
�����		∀	D ∈ ℝ. Véanse los casos en los que es determinado o indeterminado. 

 = �D + 1 			1 31 D + 1 13 −1 D + 1� 
|
| = �D + 1 			1 31 D + 1 13 −1 D + 1� = �−2 + D��1 + D��4 + D� = 0 ⇔ �
D = −4D = −1D = 		2 � 
 
Caso 1: Si D ≠ −4 y D ≠ −1	 y 	D ≠ 2 ⇒ Sistema Compatible Determinado (solución trivial). 
 
Caso 2: Si D = −4 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �−3 			1 			31 −3 			13 −1 −3� 
B			1 3−3 1B = 10	 ≠ 0 ⇒ ���
� = 2 < número de incógnitas = 	3 ⇒ Sistema Compatible 
Indeterminado. 
Se plantea el sistema utilizando el menor no nulo que ha determinado el rango de la matriz de 
los coeficientes