Deposito Algebra lineal (17)

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49 Sistema de ecuaciones lineales 
vector columna de los términos independientes entre el determinante de la matriz de los 
coeficientes: 
�� = 6
6/@ A@B/B ABB ⋯ ⋯ A@C⋯ ⋯ ABC⋮ ⋮⋮ ⋮/C ACB
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ ACC6
6
|,| , �
 =
66
A@@ /@AB@ /B ⋯ ⋯ A@C⋯ ⋯ ABC⋮ ⋮⋮ ⋮AC@ /C
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ ACC6
6
|,| , … , �� =
66
A@@ A@BAB@ ABB ⋯ ⋯ /@⋯ ⋯ /B⋮ ⋮⋮ ⋮AC@ ACB
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ /C6
6
|,| 
2.4 Equivalencia de los sistemas de ecuaciones lineales 
Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales D� y D
 son equivalentes si tienen las mismas 
soluciones y se denota por D� ⇔ D
. 
Dado un sistema de ecuaciones lineales, se pueden obtener sistemas equivalentes al mismo 
mediante las siguientes operaciones: 
- La supresión (o la adición) de una ecuación que sea combinación lineal de las demás 
ecuaciones del sistema. 
- La multiplicación de una ecuación del sistema por un escalar no nulo. 
- La sustitución de una ecuación por la suma de dicha ecuación y una combinación lineal 
de otras ecuaciones del sistema. 
2.5 Método de Gauss 
El método de Gauss es uno de los más utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 
Este algoritmo transforma un sistema en otro equivalente más sencillo de resolver. 
Por ejemplo, utilizando el método de Gauss un sistema de � ecuaciones y � incógnitas se puede 
convertir en un sistema escalonado o triangular: 
>����� + ��
�
 + ⋯+ ����� = ���
��� + �
�
 + ⋯+ �
��� = �
⋮����� + ��
�
 + ⋯+ ����� = ��
� FéHIJI	JK	LAMNNOPPPPPPPPPPPPQ >
R���� + R�
�
 + ⋯+ R���� = S�																	R
�
 + ⋯+ R
��� = S
																															⋱										⋮												⋮																																												R���� = S�
� 
donde: 
- Si R�� ≠ 0, ∀� = 1,2,… , �, de la última ecuación del sistema escalonado se obtiene el 
valor de la incógnita ��. A continuación, se sustituye este valor en la 9� − 1:-ésima 
ecuación y se despeja la incógnita ��U� obteniéndose su valor, y así sucesivamente 
hasta despejar la incógnita �� de la primera ecuación del sistema. En este caso, el 
sistema es compatible determinado. 
 
50 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
- Si alguno de los coeficientes R�� es nulo pueden darse dos casos: si en la ecuación i-
ésima se obtiene una igualdad el sistema es compatible indeterminado y si se obtiene 
una contradicción el sistema es incompatible. 
Sea el sistema inicial D�: 
D� ≡ >W�W
⋮W�
� 
donde la ecuación X-ésima viene dada por la expresión: 
WY: �Y��� + �Y
�
 + ⋯+ �Y��� = �Y 
El sistema escalonado se puede obtener realizando las siguientes operaciones: 
- Intercambiar la �-ésima ecuación con la -ésima, para ∀�, = 1,2,… , � 
D� ≡
�[[
�
[[�
W�⋮W�⋮W�⋮W�
� ⇔ D
 ≡
�[[
�
[[�
W�⋮W�⋮W�⋮W�
� 
- Reemplazar la �-ésima ecuación por un múltiplo no nulo de ella: 
D� ≡ �[�
[�W�⋮W�⋮W�
� ⇔ D
 ≡ �[�
[� W�⋮�W�⋮W�
� siendo � ≠ 0 
- Reemplazar la -ésima ecuación por la suma de ella misma con un múltiplo de la �-
ésima ecuación: 
D� ≡
�[[
�
[[�
W�⋮W�⋮W�⋮W�
� ⇔ D
 ≡
�[[
�
[[�
W�⋮W�⋮W� + �W�⋮W�
� siendo � ≠ 0 
 
 
 
51 Sistema de ecuaciones lineales 
2.6 Método general para la resolución de un sistema de ecuaciones 
lineales 
Sea un sistema lineal compatible de � ecuaciones y � incógnitas: 
��
������ + ��
�
 + ⋯+ ����� = ���
��� + �
�
 + ⋯+ �
��� = �
⋮����� + ��
�
 + ⋯+ ����� = ��
� 
es decir, 7892: = 7894: = X ≤ �. 
El procedimiento general para hallar la solución del sistema es el siguiente: 
- Elegir un menor no nulo de dimensión X de la matriz de los coeficientes. Supóngase que 
este menor está formado por las X primeras filas y las X primeras columnas: 
66
��� ��
�
� �
 ⋯ ⋯ ��Y⋯ ⋯ �
Y⋮ ⋮⋮ ⋮�Y� �Y
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ �YY6
6 
Las incógnitas que en el sistema de ecuaciones multiplican a los coeficientes de ese 
menor son las incógnitas básicas a las que se les llama variables básicas y al resto de 
incógnitas se les llama variables libres. 
D� ≡
�[
�[
� ����� + ��
�
 + ⋯+ ��Y�Y + ⋯+ ����� = ���
��� + �
�
 + ⋯+ �
Y�Y + ⋯+ �
��� = �
⋮�Y��� + �Y
�
 + ⋯+ �YY�Y + ⋯+ �Y��� = �Y⋮����� + ��
�
 + ⋯+ ��Y�Y + ⋯+ ����� = ��
� 
- Construir un sistema equivalente eliminando las filas cuyos coeficientes no intervienen 
en el menor elegido: 
D� ⇔ D
 ≡ ��
������ + ��
�
 + ⋯+ ��Y�Y + ⋯+ ����� = ���
��� + �
�
 + ⋯+ �
Y�Y + ⋯+ �
��� = �
⋮�Y��� + �Y
�
 + ⋯+ �YY�Y + ⋯+ �Y��� = �Y
� 
- Introducir con signo opuesto en ambos lados de las igualdades los sumandos 
correspondientes a las variables básicas: 
D
 ⇔ D] ≡ ��
� ����� + ��
�
 + ⋯+ ��Y�Y = �� − 9��Y^��Y^� + ⋯+ �����:�
��� + �
�
 + ⋯+ �
Y�Y = �
 − 9�
Y^��Y^� + ⋯+ �
���:⋮�Y��� + �Y
�
 + ⋯+ �YY�Y = �Y − 9�Y,Y^��Y^� + ⋯+ �Y���:
�