Deposito Algebra lineal (19)

Vista previa del material en texto

55 Sistemas de ecuaciones lineales 
� = 9 − 7λ; � = −5 + 4λ; � = 2 − λ; ) = λ; 	<���)= = <
			9−5			2	0= + λ<
−7			4−1			1= ∀	λ ∈ ℝ 
 
 
P4. Estudiar el sistema de ecuaciones lineales ( � + � + � = 12� + � + 2� = 1−3� − � − 3� = −2−� − � − � = 0 � y resolverlo cuando sea 
posible. 
 
RESOLUCIÓN 
La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son 

 = <			1 			1 				1			2 			1 				2−3−1 −1−1 	−3−1= �
����� = <
			1 			1 				1			2 			1 				2−3−1 −1−1 	−3−1	A
			1			1−2			0= 
Se calcula el rango de la matriz de los coeficientes. Dado que la primera y la última fila de la 
matriz	
 son proporcionales, y la primera y la última columna son iguales 
���
� = �� �			1 			1			2 			1−3 −1� ⇒ B1 12 1B = −1 ≠ 0 ⇒ ���
� = 2 
Se calcula el rango de la matriz ampliada 
���
����� = <			1 			1 				1			2 			1 				1−3−1 −1−1 	−2−0= ⇒ �
			1 		1 				1			2 		1 				1−3 −1 	−2� = 1 ≠ 0 ⇒ ���
����� = 3 
Como ���
� = 2 ≠ ���
����� = 3 ⇒	Sistema Incompatible, por lo que no existe solución. 
 
 
P5. Sea el sistema de ecuaciones lineales		C � − 2� + 2� − 2) = 6� − � + 4� + D) = D − 3� 
a) Clasificar en función del parámetro D. 
b) Resolver cuando sea posible. 
 
RESOLUCIÓN 
a) La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son 
 
56 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 

 = 31 −2 2 −21 −1 4 				D4 �
����� = 31 −2 2 −21 −1 4 			D	B 6D − 34 
B1 −21 −1B = 1 ≠ 0	 ⇒ ���
� = ���
����� = 2 <	número de incógnitas = 4 
Se trata de un Sistema Compatible Indeterminado para cualquier valor del parámetro D. 
 
b) Utilizando el menor del apartado anterior 
C � − 2� + 2� − 2) = 6� − � + 4� + D) = D − 3� ⇔ (
� − 2� = 6 − 2E + 2μ� − � = D − 3 − 4E − Dμ� = E) = μ � 
Restando las dos ecuaciones se tiene que 
� = −9 + D − 2E − �2 + D�	μ 
Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación se obtiene el valor de la incógnita � 
� = −12 + 2D − 6E − �2D + 2�μ 
En conclusión, la solución del sistema es 
<���)= = <
−12 + 2D−9 + D00 = + E<
−6−2			1			0= + μ<
−2D − 2−2 − D			0			1 =					∀E, μ	 ∈ ℝ 
 
 
P6. Sea el sistema de ecuaciones lineales		( � + 3� − � = 6� + 2� + � = 2										� − �		 = 2−2� + D� − 10� = 2D� 
a) Utilizar el teorema de Rouché-Fröbenius para determinar el valor del parámetro	D para el 
cual el sistema es compatible. 
b) Resolver el sistema en ese caso. 
 
RESOLUCIÓN 
a) La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son 

 = <			1 3 −1			1 2 			1			0−2 1D −1−10= �
����� = <
			1 3 −1			1 2 			1			0−2 1D −1−10	A	
6222D= 
Dado que la matriz 
	es una matriz de dimensión 4x3, verifica que ���
� ≤ 3 
 
57 Sistemas de ecuaciones lineales 
Véase exactamente cuál es el rango, �1 3 −11 2 			10 1 −1� = −1 ≠ 0 ⇒ ���
� = 3 
Por tanto, para que el sistema sea compatible debe cumplirse que ���
� = ���
����� = 3 
Por otro lado 3 ≤ ���
� = ���
|���) ≤ 4 
Para determinar el rango de la matriz ampliada se calcula su determinante 
|
|���| = A			1 3 −1 			6			1 2 			1 			2			0−2 1D −1 			2−10 2DA 	= (−1)'I$ �
			1 −1 6			1 			1 2−2 −10 2D� + (−1)'I'(−1) �
			1 3 6			1 2 2−2 D 2D� + 
										+2(−1)'I% �			1 3 −1			1 2 			1−2 D −10� = 12 − 2D 
|
|���| = 12 − 2D = 0 ⇔ D = 6 
En conclusión 
Caso 1: Si D = 6 ⇒ ��(
) = ���
����� = número de incógnitas = 	3	⇒ Sistema Compatible 
Determinado. 
Caso 2: Si D ≠ 6	 ⇒ ��(
) = 3 ≠ 	���
����� 	= 	4	 ⇒ Sistema Incompatible. 
 
b) El sistema que se debe resolver es 	( � + 3� − � = 6� + 2� + � = 2										� − �		 = 2−2� + 6� − 10� = 12�				 
Dado que la última ecuación es combinación lineal de las primeras, el sistema anterior es 
equivalente al sistema �� + 3� − � = 6� + 2� + � = 2	� − �		 = 2 � cuya solución es � = 4, � = 0, � = −2. 
 
 
P7. Discutir el sistema de ecuaciones lineales � D� − � − � = 1� + D� + 2D� = D� + � + � = −1 � en función del parámetro 
real D y resolverlo en los casos en que sea posible. 
 
RESOLUCIÓN 
Se definen la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada 

 = �D −1 −11 			D 		2D1 			1 			1 � �
����� = �
D −1 −11 			D 		2D1 			1 			1 	�
			1			D−1�