Deposito Algebra lineal (25)

Vista previa del material en texto

73 Sistemas de ecuaciones lineales 
Por tanto, c� = �c!c$c'� = �
			1			0−3� es una solución del mismo. Véase si 2 · c� = �
2c!2c$2c'� = �
			2			0−6� 
también es solución del sistema 
K 2 + 0 = 2 ≠ 12 + 0 − 6 = −4 ≠ −2� 
No se satisfacen las ecuaciones por lo que 2 · c� no es solución del sistema planteado y la 
afirmación no es cierta. 
 
b) Verdadero. Si 	c� = �c!, c$, … , c`�e ∈ ℝ` es solución del sistema homogéneo 
�� = 0��, se 
cumple que 
c� = 0��. Por otra parte, el vector b · c� ∈ ℝ` será solución del sistema 
�� = 0�� si se 
verifica que 
�b · c�� = 0��. Desarrollando la parte izquierda de esta igualdad se obtiene 

�b · c�� = b · 
c�f ��� = 0�� 
Se ha demostrado que b · c� es solución del sistema. 
 
 
 
74 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
EJERCICIOS RESUELTOS CON MATHEMATICA 
 
M1. Sea el sistema de ecuaciones lineales � 	�� + 4� + �� = −1� + 	4�� + � = 		13� − (4� − 2)� + 2�	 = 	3� 
a) Discutir el sistema en función del parámetro real � utilizando para ello el teorema de Rouché-
Fröbenius. 
b) Resolver el sistema cuando sea posible. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se definen la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada 
 
 
Dado que la matriz de los coeficientes es una matriz cuadrada, se estudian los valores del 
parámetro real � que anulan el determinante 
 
 
 
 
75 
 
75 Sistemas de ecuaciones lineales 
Caso 1: Si � ≠ −1 y �	 ≠ 1	 ⇒ ��(�) = ��������� = 	3 =	 número de incógnitas ⇒ Sistema 
Compatible Determinado. 
Caso 2: Si � = −1, véase cuál es el rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada 
 
 
 
En este caso, ��(�) = ��������� = 	2 < número de incógnitas = 	3 ⇒	 Sistema Compatible 
Indeterminado. 
Caso 3: Si � = 1, véase cuál es el rango de ambas matrices 
 
 
Como ��(�) 	≠ ��(�|���)	⇒ Sistema Incompatible. 
 
b) Se calcula la solución cuando el sistema es compatible. 
Caso 1: Si � ≠ −1	 y �	 ≠ 1	 ⇒ ��(�) = ��������� = 	3 =	número de incógnitas ⇒ Sistema 
Compatible Determinado.