Deposito Algebra lineal (20)

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58 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes 
|
| = �D −1 −11 		D 		2D1 		1 		1 � = −D�D + 1�		;	|
| = 0 ⇔ −D�D + 1� = 0 ⇔ K D = 0	D = −1� 
 
Caso 1: Si	D ≠ 0	y 	D ≠ −1 ���
� = ���
����� = 3 = número de incógnitas ⇒ Sistema Compatible Determinado. 
Resolviendo por Cramer 
� = �			! "! "!			L 		L 		$L"! 		! 		! �"L�LI!� = 0; � = �
L 			! "!! 			L 		$L! "! 		! �"L�LI!� = 'L�LI!�"L�LI!� = −3; � = �
L "! 			!! 		L 			L! 		! "!�"L�LI!� = "$L�LI!�"L�LI!� = 2 
 
Caso 2: Si	D = 0	 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �0 −1 −11 			0 			01 			1 			1� �
����� = �
0 −1 −11 			0 			01 			1 			1		�
			1			0−1� 
Se estudia el rango de las matrices 
 y �
|����. Dado que la segunda y la tercera columna de 
ambas matrices son iguales 
���
� = ���0 −11 		01 		1� ⇒ B0 −11 			0B = 1 ≠ 0 ⇒ ���
� = 2 
Por otro lado, la segunda y la cuarta columna de la matriz ampliada son proporcionales, por 
tanto 
���
|���� = ���0 −11 		01 		1 � 
���
� = ���
����� = 2 < número de incógnitas = 3	⇒ Sistema Compatible Indeterminado. 
Se resuelve teniendo en cuenta el menor no nulo utilizado para calcular el rango 
� −� − � = 1� = 0� + � + � = −1 ⇔ �
−� = 1 + λ� = 0� = λ 			�� ⇒ M
���N = �
			0−1			0� + λ�
			0−1			1� ∀	λ ∈ ℝ 
 
Caso 3: Si	D = −1	 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �−1 −1 −1			1 −1 −2			1 			1 		1 � �
����� = �
−1 −1 −1			1 −1 −2			1 			1 			1		�
			1−1−1� 
 
59 Sistemas de ecuaciones lineales 
Se estudia el rango de las matrices 
 y �
|����. La primera y la tercera fila de la matriz de los 
coeficientes son proporcionales, es decir 
��(
) = �� 3−1 −1 −1			1 −1 −24 ⇒ B−1 −1			1 −1B = 2 ≠ 0 ⇒ ��(
) = 2 
En cuanto al rango de la matriz ampliada, como la primera y última fila, así como la primera y 
la última columna son proporcionales 
���
����� = �� 3−1 −1 −1			1 −1 −24 ⇒ B−1 −1			1 −1B = 2 ≠ 0 ⇒ ���
����� = 2 
��(
) = ���
����� = 2 < número de incógnitas = 3	 ⇒	Sistema Compatible Indeterminado. 
Al igual que en el caso anterior, se resuelve utilizando el menor que ha proporcionado el rango 
de la matriz de los coeficientes 
. 
� −� − � − � = 1� − � − 2� = −1� + � + � = −1 ⇔ �
−� − � = 1 + λ� − � = −1 + 2λz = λ 		�� ⇒ (
� = −1 + !$ λ� = − '$ λz = λ
� 
M���N = �
−1		0		0� + λ�
			1/2−3/2			1 � ∀	λ ∈ ℝ 
 
 
P8. Sea el sistema de ecuaciones lineales � 	D� + 4� + D� = −1� + 	4D� + � = 		13� − (4D − 2)� + 2�	 = 	3� 
a) Discutir el sistema en función del parámetro real D. 
b) Resolver el sistema cuando sea compatible indeterminado. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Para estudiar el sistema se calculan el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la 
matriz ampliada 

 = �D 			4 D1 			4D 13 −(4D − 2) 2� �
����� = 	��
D 		4 D1 		4D 13 −(4D − 2) 2	� �
−1			1			3��	
|
| = �D 			4 D1 			4D 13 −(4D − 2) 2� 1 3
C C−
= 	 �0 			4 D0 			4D 11 −(4D − 2) 2� = (−1)'I! B 4 D4D 1B = 4(1 − D$) 
|
| = 0 ⇔		 KD = −1D = 			1� 
 
60 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
Caso 1: Si D ≠ −1		 y D	 ≠ 1	 ⇒ ���
� = 	���
����� = 	3 = número de incógnitas ⇒ Sistema 
Compatible Determinado. 
 
Caso 2: Si D = −1	 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �−1 			4 −1			1 −4 			1			3 			6 			2� ��
|����� =� 	��
−1 			4 −1			1 −4 			1			3 			6 			2	� �
−1			1			3�� 
Las dos primeras filas de la matriz 
 son proporcionales, por lo que 
���
� = �� 31 −4 13 				6 24 ⇒ B−4 1			6 2B = −14 ≠ 0	 ⇒ ���
� = 2 
Por otro lado, dado que la columna que se añade al construir la matriz ampliada �
|���� es igual 
que la primera, el rango de la matriz ampliada coincide con el rango de 
. Entonces, ���
� =	���
����� = 	2 < número de incógnitas = 3	⇒ Sistema Compatible Indeterminado. 
 
Caso 3: Si D = 1 ⇒ ���
� ≤ 2	 

 = �	1 			4 		1	1 			4 		1	3 −2 		2� ��
|����� =� 	��
	1 			4 		1	1 			4 		1	3 −2 		2	� �
−1			1			3�� 
En este caso las dos primeras filas de la matriz 
 son idénticas, por tanto 
���
� = �� 31 			4 13 −2 24 ⇒ B				4 1−2 2B = 10 ≠ 0 ⇒ ���
� = 2 
Véase cuál es el rango de la matriz ��
|������ 
� 		4 			1 −1		4 			1 			1−2 			2 			3� = −20 ≠ 0	 ⇒ ���
����� = 3 
Es decir, 	���
� = 2	 ≠ ���
|���� = 3 ⇒ Sistema Incompatible. 
 
En resumen 
Caso 1: Si D ≠ −1	 y D	 ≠ 1	 ⇒ ���
� = 	���
����� = 	3 = número de incógnitas ⇒ Sistema 
Compatible Determinado. 
Caso 2: Si D = −1	 ⇒ ���
� = 	���
����� = 	2	< número de incógnitas = 3 ⇒ Sistema 
Compatible Indeterminado. 
Caso 3: Si D = 1 ⇒ 	���
� = 2	 ≠ ���
����� = 3	 ⇒ Sistema Incompatible. 
 
b) Se resuelve el problema para D = −1. 
Se plantea el sistema utilizando el menor no nulo que ha determinado el rango de