Deposito Algebra lineal (18)

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52 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
- Resolver el sistema utilizando por ejemplo la regla de Cramer, obteniendo el valor de 
las variables básicas ��, �
, … . , �Y en función de las variables libres �Y^�, … . , �� y 
teniendo en cuenta que los términos a la derecha de la igualdad son los nuevos términos 
independientes del sistema 	R� = �� − 9��,Y^��Y^� + ⋯+ �����:, ∀� = 1, 2, … , X. 
�� = 6
6`@ A@B`B ABB ⋯ ⋯ A@a⋯ ⋯ ABa⋮ ⋮⋮ ⋮`a AaB
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ Aaa6
6
66
A@@ A@BAB@ ABB ⋯ ⋯ A@a⋯ ⋯ ABa⋮ ⋮⋮ ⋮Aa@ AaB
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ Aaa6
6
, �
 = 6
6A@@ `@AB@ `B ⋯ ⋯ A@a⋯ ⋯ ABa⋮ ⋮⋮ ⋮Aa� `a
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ Aaa6
6
66
A@@ A@BAB@ ABB ⋯ ⋯ A@a⋯ ⋯ ABa⋮ ⋮⋮ ⋮Aa@ AaB
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ Aaa6
6
, … , �Y = 6
6A@@ A@BAB@ ABB ⋯ ⋯ `@⋯ ⋯ `B⋮ ⋮⋮ ⋮Aa@ AaB
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ `C6
6
66
A@@ A@BAB@ ABB ⋯ ⋯ A@a⋯ ⋯ ABa⋮ ⋮⋮ ⋮Aa@ AaB
⋱ ⋯ ⋮⋮ ⋱ ⋮⋯ ⋯ Aaa6
6
 
 
53 Sistemas de ecuaciones lineales 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
P1. Resolver el sistema de ecuaciones lineales � � + � − � = 02� + � + � = 6−� − � + 2� = 1� utilizando el método de 
Cramer. 
 
RESOLUCIÓN 
La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son 

 = �			1 			1 −1			2 			1 			1−1 −1 			2� �
����� = �
			1 			1 −1			2 			1 			1−1 −1 			2	�	
061� 
Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes 
|
| = �			1 			1 −1			2 			1 			1−1 −1 			2� = −1 ≠ 0 ⇒ ���
� = 3 
���
� = ���
����� = 3 =	número de incógnitas ⇒ Sistema Compatible Determinado. 
Se utiliza el método de Cramer para su resolución 
� = � 			! "!# 			! 		!! "! 		$ �"! = "%"! = 4; � = �
			! "!			$ # 			!"! ! 			$�"! = 		'"! = −3; � = �
			! 			! 			$ 			! #"! "! !�"! = "!"! = 1 
 
 
P2. Resolver el sistema 		( 2� + 2� − 3� + ) = 34� − � + 2� − ) = −10� + 2� + ) = 22� − 2� − 4� − 2) = 0 �					 mediante el método de Gauss. 
 
RESOLUCIÓN 
( 2� + 2� − 3� + ) = 34� − � + 2� − ) = −10� + 2� + ) = 22� − 2� − 4� − 2) = 0 �					 
4
1 4
/2
↔
⇒
F
F F
 ( � − � − 2� − ) = 04� − � + 2� − ) = −10� + 2� + ) = 22� + 2� − 3� + ) = 3 �					 
2 1
3 1
4 1
4
2
−
−
−
⇒
F F
F F
F F
 
 
54 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
( � − � − 2� − ) = 03� + 10� + 3) = −103� + 2� + 2) = 24� + � + 3) = 3 �			 
3 2
4 2
4
3
−
−
⇒
F F
F F 				*+
, � − � − 2� − ) = 03� + 10� + 3) = −10−8� − ) = 12"'.' � − ) = %/'
						� 4 3
37
24
−
⇒
F F
 
*+
, � − � − 2� − ) = 03� + 10� + 3) = −10−8� − ) = 12!'$% ) = "!'#
						� ⇒					
*0+
0, � = 4 + 2�−1� − 4 = −2� = !' �−10 + 10 + 12� = 4� = "!1 �12 − 4� = −1) = $%!' · 3"!'# 4 = −4
						� 
La solución del sistema es (� = −2�	 = 		4� = −1) = −4� 
 
 
P3. Estudiar el sistema de ecuaciones lineales �� + � − 2� + ) = 0−� − 2� + ) = 1� + ) = 2 � y resolverlo cuando sea 
posible. 
 
RESOLUCIÓN 
Se definen la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada 

 = �			1 			1 −2 1−1 −2 			0 1			0 			0 			1 1� �
����� = �
			1 			1 −2 1−1 −2 			0 1			0 			0 			1 1	�	
012� 
Se calcula el rango de la matriz de los coeficientes 
|
| = �			1 			1 −2−1 −2 			0		0 			0 			1� = −1 ≠ 0 ⇒ ���
� = 3 
���
� = ���
����� = 3 <	número de incógnitas = 4 ⇒ Sistema Compatible Indeterminado. 
Se resuelve en función del menor utilizado para calcular el rango 
(� + � − 2� + ) = 0−� − 2� + ) = 1� + ) = 2 ⇔ (
� + � − 2� = −λ−� − 2� = 1 − λ� = 2 − λt = λ �� 
Sustituyendo la tercera ecuación en la primera y despejando el valor de �	e �	se tiene que