Deposito Algebra lineal (29)

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85 Sistemas de ecuaciones lineales 
 
El sistema se puede resolver también utilizando el comando Solve 
 
 
 
M5. Discutir el sistema homogéneo 6(� + 1)� + � + 3� = 0� + (� + 1)� + � = 03� − � + (� + 1)� = 0� en función del parámetro real �. 
 
RESOLUCIÓN 
 
Dado que el sistema es homogéneo, sólo se define la matriz de los coeficientes 
 
Para obtener la solución del sistema en función de un parámetro se utiliza el comando Reduce 
 
 
Tal y como se puede apreciar en el output de este comando, la solución del sistema es 
Caso 1: Si � = −4 o � = −1 o � = 2 
 
 
86 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
� = #7' )"' �"2'$8 , � = $#' "'&"2'$8 , ∀� ∈ ℝ 
Es decir se trata de un sistema compatible indeterminado. 
Caso 2: Si � ≠ −4 y � ≠ −1 y � ≠ 2, el sistema homogéneo es compatible determinado. Es 
decir, la única solución del sistema es la solución trivial 
� = � = � = 0 
 
87 Espacio vectorial 
3 ESPACIO VECTORIAL 
3.1 Ley de composición 
Definición: Dados los conjuntos �, � y �, se llama ley de composición a toda aplicación: 
�: � × � → � 
�	
, �� = 
 ∗ � = �, ∀
 ∈ �, ∀� ∈ �, siendo � ∈ � 
Observaciones: 
- Si � = � = �, es decir, si �: � × � → �, se dice que la ley de composición es interna. 
- Si � ≠ � y � = �, es decir, si �: � × � → �, se dice que la ley de composición es 
externa en �. 
3.2 Propiedades de la ley de composición interna 
Una ley de composición interna �: � × � → � denotada por “∗” cumple las siguientes 
propiedades: 
- Propiedad asociativa: 	
 ∗ �� ∗ � = 
 ∗ 	� ∗ ��, ∀
, �, � ∈ � 
- Propiedad conmutativa: 	
 ∗ � = � ∗ 
, ∀
, � ∈ � 
- Existencia del elemento neutro: se dice que � ∈ � es el elemento neutro respecto a la 
ley de composición interna “∗” si verifica la igualdad 
 ∗ � = � ∗ 
, ∀
 ∈ � 
- Existencia del elemento simétrico: se dice que 
′ ∈ �	 es el elemento simétrico del 
elemento 
 ∈ � respecto a la ley de composición interna “∗” si verifica la igualdad 
 ∗ 
� = 
� ∗ 
 = �, siendo � el elemento neutro de la ley de composición interna “∗”. 
- Propiedad distributiva de una ley de composición interna respecto a otra: sean las leyes 
de composición interna “∆” y “ ∗”, se dice que “∆” es distributiva respecto a “∗” si se 
verifica que: 
∆	� ∗ �� = 	� ∗ ��∆
 = 	
 ∗ ��∆	
 ∗ �� = 	� ∗ 
�∆	� ∗ 
�, ∀
, �, � ∈ � 
Teorema: Sea � un conjunto con una ley de composición interna “∗”. Si existe el elemento 
neutro � ∈ � respecto de “∗”, entonces éste es único.