Deposito Algebra lineal (30)

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88 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Teorema: Sea � un conjunto con una ley de composición interna “∗” asociativa, con elemento 
neutro �. Si un elemento 
 ∈ � tiene simétrico 
′ ∈ � respecto de la ley de composición interna 
“∗”, entonces éste es único. 
3.3 Propiedades de la ley de composición externa 
Sean ��: � × � → � una ley de composición externa y ��: � × � → � una ley de composición 
interna representadas mediante los símbolos “∘” y “ ·” respectivamente. Entonces: 
- La ley de composición externa “∘” es asociativa respecto a la ley de composición 
interna “·” si: 	� · �� ∘ � = � ∘ 	� ∘ ��, ∀�, � ∈ �, ∀� ∈ � 
- La ley de composición externa “∘” es distributiva respecto a la ley de composición 
interna “·” si: � ∘ 	� · �′� = 	� · �′� ∘ � = 	� ∘ �� · 	� ∘ �′�, ∀� ∈ �, ∀�, �′ ∈ � 
3.4 Grupo 
Definición: Un conjunto no vacío � dotado de una ley de composición interna “∗” es un grupo 
si “∗” cumple la propiedad asociativa, tiene elemento neutro y todo elemento 
 ∈ � tiene 
simétrico respecto de “∗”. El grupo se denota por 	�,∗�. 
Definición: Un grupo � es abeliano si la ley de composición interna “∗” cumple la propiedad 
conmutativa. 
3.5 Anillo 
Definición: Un conjunto � dotado de las leyes de composición interna “+” y “ ∙” es un anillo si 
cumple las siguientes condiciones: 
- 	�, +� es un grupo abeliano. 
- La ley de composición interna “∙” es asociativa. 
- La ley de composición interna “∙” es distributiva respecto a la ley de composición 
interna “+” por ambos lados. 
El anillo se denota por 	�,+,∙�. 
 
89 Espacio vectorial 
Definición: Se dice que un anillo es unitario si la ley de composición interna “∙” tiene elemento 
neutro. 
Definición: Se dice que un anillo es conmutativo si la ley de composición interna “∙” es 
conmutativa. 
3.6 Divisores de cero. Dominio de integridad 
Definición: Sea el anillo 	�,+,∙�. Se dice que los elementos 
, � ∈ � son divisores de cero si 
cumplen la condición 
 · � = 0, siendo 
 ≠ 0, � ≠ 0 y 0 el elemento neutro respecto a la ley de 
composición interna “+”. 
Definición: Se llama anillo de integridad a cualquier anillo conmutativo que no tiene divisores 
de 0. 
Definición: Se llama dominio de integridad a cualquier anillo de integridad unitario. 
3.7 Cuerpo 
Definición: Se dice que un dominio de integridad 	#,+,∙� es un cuerpo si cualquier elemento 
distinto del elemento neutro, 
 ∈ # − %0&, tiene elemento simétrico respecto a “∙”. 
3.8 Espacio vectorial 
Definición: Se llama espacio vectorial a una terna '	(,+�, 	#,+,·�,∘) donde: 
- 	(,+� es un grupo abeliano cuyos elementos se llaman vectores y se representan por *,+++, -,, .++,,…, siendo la operación “+” la ley de composición interna suma de vectores. 
- 	#,+,·� es un cuerpo cuyos elementos se llaman escalares, representados por �, �, /,…, 
siendo las operaciones “+” y “·” la suma y la multiplicación de escalares 
respectivamente. 
- El signo “∘” representa una ley de composición externa �:# × ( → ( que a cada pareja 	�, -,� ∈ # × ( le asocia un vector *+, = � ∘ -,. Esta ley de composición externa cumple 
las siguientes propiedades: 
• Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores: � ∘ 	*+, + -,� = � ∘ *+, + � ∘ -,, ∀� ∈ #, ∀*+,, -, ∈ ( 
 
90 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
• Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares: 	� + �� ∘ *+, = � ∘ *+, + � ∘ *+,, ∀�, � ∈ #, ∀*+, ∈ ( 
• Propiedad asociativa respecto al producto de escalares: 	� · �� ∘ *+, = � ∘ 	� ∘ *+,�, ∀�, � ∈ #, ∀*+, ∈ ( 
• Existencia del elemento neutro respecto a la ley de composición externa “∘”: 1 ∘ *+, = *+,, ∀*+, ∈ ( 
Habitualmente se abrevia y se dice que 	(, #,∘� es un espacio vectorial, o que ( es un espacio 
vectorial sobre el cuerpo #, o simplemente que ( es un espacio vectorial. 
Si el cuerpo # es el cuerpo de los números reales ℝ con su suma y multiplicación ordinarias, se 
dice que el espacio vectorial '	(,+�, 	ℝ,+,·�,∘) es real, siendo la ley de composición externa el 
producto entre escalar y vector, � ∘ *+, = � · *+,, ∀� ∈ ℝ,∀*+, ∈ (	. 
Ejemplos de espacios vectoriales: 
- El conjunto de los vectores de 2		coordenadas constituye el espacio vectorial real '	ℝ3, +�, 	ℝ,+,·�,∘), siendo la ley de composición interna la suma de vectores y la ley 
de composición externa el producto de un escalar por un vector. 
- El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 2 constituye en 	ℝ,+,·� el 
espacio vectorial '	ℙ3	5�, +�, 	ℝ,+,·�,∘), siendo la ley de composición interna la suma 
de polinomios y la ley de composición externa el producto de un escalar por un 
polinomio. 
- El conjunto de las matrices de dimensión 2x7 constituye en 	ℝ,+,·� el espacio 
vectorial '	839:, +�, 	ℝ,+,·�,∘), siendo la ley de composición interna la suma de 
matrices y la ley de composición externa el producto de un escalar por una matriz. 
3.8.1 Propiedades de los espacios vectoriales 
En un espacio vectorial 	(, #,∘� se cumplen las siguientes propiedades: 
- ∀*+, ∈ ( − ;0+,<, � ∘ *+, = 0+, 	⇔ � = 0 
- ∀� ∈ #, ∀*+, ∈ (, 	−�� ∘ *+, = � ∘ 	−*+,� = −	� ∘ *+,� 
- ∀� ∈ #, ∀*+, ∈ (, 	−�� ∘ 	−*+,� = � ∘ *+, 
- ∀�, � ∈ #, ∀*+, ∈ (, si � ∘ *+, = � ∘ *+,,	 para 	*+, ≠ 0+, ⇒ � = � 
- ∀� ∈ #, ∀*+,, -, ∈ (, si � ∘ *+, = � ∘ -,,	 para 	� ≠ 0 ⇒ *+, = -,