Deposito Algebra lineal (31)

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91 Espacio vectorial 
3.9 Subespacio vectorial 
Definición: Sea '	(,+�, 	#,+,·�,∘) un espacio vectorial y sea ? un subconjunto de (. Si con las 
leyes de composición inducidas en ?, '	?, +�, 	#,+,·�,∘) es también un espacio vectorial, se 
dice que '	?, +�, 	#,+,·�,∘) es un subespacio vectorial de '	(,+�, 	#,+,·�,∘). 
Teorema: ? es un subespacio vectorial de '	(,+�, 	#, +,·�,∘) si y sólo si, se satisfacen las 
siguientes condiciones: 
- ∀*+,, -, ∈ ?,			*+, + -, ∈ ?		 
- ∀� ∈ #, ∀*+, ∈ ?,			� ∘ *+, ∈ ? 
o lo que es equivalente a las dos expresiones anteriores: 
? subespacio vectorial ⇔ ∀�, � ∈ #, ∀*+,, -, ∈ ?, � ∘ *+, + � ∘ -, ∈ ? 
Algunas consideraciones: 
- Todo subespacio vectorial contiene al vector nulo. 
- El conjunto que sólo contiene al vector nulo es un subespacio de cualquier espacio 
vectorial. 
- Todo espacio vectorial es un subespacio vectorial de sí mismo. 
- Los subespacios del espacio vectorial '	(,+�, 	#,+,·�,∘) distintos de ;0+,< y ( se 
denominan subespacios propios. 
3.10 Combinación lineal. Sistema generador 
3.10.1 Combinación lineal 
Definición: Sea @ = ;-,�, -,�, … , -,B< un sistema finito de vectores del espacio vectorial '	(,+�, 	#,+,·�,∘), se dice que un vector *+, ∈ ( es combinación lineal de los vectores del 
sistema @, si existen C escalares ��, ��, … , �B ∈ # tales que: 
*+, = ��-,� + ��-,� +⋯+ �B-,B 
Algunas consideraciones: 
- El vector nulo 0+, se puede expresar como combinación lineal de cualquier sistema de 
vectores. Para ello, basta tomar todos los coeficientes ��, ��, … , �B nulos, es decir, 0+, = 0 · -,� + 0 · -,� +⋯+ 0 · -,B 
 
92 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
- Si *+, ∈ ( es combinación lineal de los vectores del sistema @ = ;-,�, -,�, … , -,B< y cada 
vector -,E es combinación lineal de los vectores de otro sistema F = ;.++,�, .++,�, … , .++,G<, 
entonces, el vector *+, ∈ ( es combinación lineal de los vectores del sistema F. 
3.10.2 Sistema generador 
Definición: Sea '	(,+�, 	#,+,·�,∘) un espacio vectorial y sea @ = ;-,�, -,�, … , -,B< un sistema de 
vectores de (. El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de @ se denomina 
envoltura lineal del sistema de vectores ;-,�, -,�, … , -,B< y se denota por 〈-,�, -,�, … , -,B〉 ≡ 〈@〉 ≡ℒ	@�. 
Teorema: El conjunto de todas las combinaciones lineales formadas por los vectores del 
sistema @ constituye un subespacio vectorial de (. 
Definición: Si 〈-,�, -,�, … , -,B〉 = (, se dice que @ = ;-,�, -,�, … , -,B< es un sistema generador de (. 
Observación: Si en un sistema de vectores generador de un espacio vectorial se suprime un 
vector que es combinación lineal del resto, el espacio vectorial engendrado no varía. 
3.11 Dependencia e independencia lineal 
Definición: Un sistema finito de vectores @ = ;-,�, -,�, … , -,B< de un espacio vectorial ( se dice 
que es libre o que los vectores -,�, -,�, … , -,B son linealmente independientes, si la igualdad 
�� · -,� + �� · -,� +⋯+ �B · -,B = 0+, 
sólo se satisface cuando �� = �� = ⋯ = �B = 0. En caso contrario, es decir, si se satisface la 
igualdad para algún �E ≠ 0, se dice que el sistema es ligado o que los vectores son linealmente 
dependientes. 
Teorema: Si un sistema de vectores @	es ligado, cualquier sistema F que lo contenga, @ ⊆ F, 
también es ligado. 
Teorema: Si un sistema de vectores @ es libre, todo subsistema � del mismo, � ⊆ @, también 
es libre. 
 
93 Espacio vectorial 
Teorema: Un sistema de vectores @	es ligado si y sólo si, algún vector del mismo es 
combinación lineal del resto. En particular, un sistema que contenga al vector nulo es ligado. 
Teorema: Si el sistema de vectores ;-,�, -,�, … , -,B< es libre y si -,BM� ∉ 〈-,�, -,�, … , -,B〉, entonces, 
el sistema ;-,�, -,�, … , -,B, -,BM�< también es libre. 
3.12 Base de un espacio vectorial. Dimensión. 
3.12.1 Base de un espacio vectorial 
Definición: Sea O = %-,�, -,�, … , -,3& un sistema de vectores del espacio vectorial '	(,+�, 	#,+,·�,∘). Se dice que O es una base de ( si es libre y generador de (. 
Teorema: Sea '	(,+�, 	#, +,·�,∘) un espacio vectorial y sea O = %-,�, -,�, … , -,3& una base del 
mismo. Todo vector *+, ∈ ( se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores 
de la base O: 
*+, = ��-,� + ��-,� +⋯+ �3-,3 
Los escalares 	��, ��, … , �3� se denominan componentes o coordenadas del vector *+, en la base O y se denota por *+, = 	��, ��, … , �3�P. 
Propiedades: 
- En todo espacio vectorial engendrado por un número finito de vectores existe al menos 
una base. 
- En un espacio vectorial engendrado por un número finito de vectores todas las bases 
tienen el mismo número de elementos. 
3.12.2 Dimensión de un espacio vectorial 
Definición: Dada una base O = %-,�, -,�, … , -,3& del espacio vectorial (, se denomina dimensión 
de ( al número de elementos de O	y se expresa por QR7	(� = 2. 
Observación: 
Sea un espacio vectorial '	(,+�, 	#,+,·�,∘) y sea ? un subespacio del mismo, entonces, se 
cumple que QR7 ? ≤ QR7(.