Deposito Algebra lineal (32)

Vista previa del material en texto

94 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Conclusiones: 
- Todo sistema generador de un espacio vectorial de dimensión 2 formado por 2 vectores 
es libre. 
- Un sistema libre de vectores en un espacio vectorial de dimensión 2 contiene como 
máximo 2 vectores. 
- Un sistema de vectores en un espacio vectorial de dimensión 2 que tenga más de 2 
elementos es ligado. 
3.12.3 Ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial 
Sea O = %-,�, -,�, … , -,3& una base del espacio vectorial '	(,+�, 	#, +,·�,∘) y sean '	?, +�, 	#,+,·�,∘) un subespacio vectorial de ( y %T,�, T,�, … , T,U& un sistema generador de ? 
siendo: 
T,� = 	
��, 
��, … , 
3��PT,� = 	
��, 
��, … , 
3��P⋮T,U = 	
�U, 
�U, … , 
3U�P 
Entonces, el subespacio ? se puede expresar respecto a la base O de la siguiente manera: 
? ≡ W 5� = 
��X� + 
��X� +⋯+ 
�UXU5� = 
��X� + 
��X� +⋯+ 
�UXU⋮53 = 
3�X� + 
3�X� +⋯+ 
3UXUYP 
siendo X�, X�, … , XU	 parámetros pertenecientes al cuerpo # y -, = 	5�, 5�, … , 53�P un vector 
genérico de ?. Las ecuaciones que forman el sistema anterior se denominan ecuaciones 
paramétricas de ? respecto de la base O. 
3.12.4 Ecuaciones implícitas de un subespacio vectorial 
Sea O = %-,�, -,�, … , -,3& una base del espacio vectorial '	(,+�, 	#, +,·�,∘) y sea '	?, +�, 	#,+,·�,∘) un subespacio vectorial de (. Entonces, el subespacio ? se puede expresar 
como el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo: 
? ≡ W 
��5� + 
��5� +⋯+ 
�353 = 0
��5� + 
��5� +⋯+ 
�353 = 0⋮
:�5� + 
:�5� +⋯+ 
:353 = 0YP 
Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones implícitas o cartesianas del subespacio ? 
respecto de la base O. En un subespacio vectorial se cumple la siguiente igualdad: 
QR7( = QR7 ? + nº ecuaciones implícitas linealmente independientes 
 
95 Espacio vectorial 
3.13 Teorema de la base incompleta 
Teorema: Sea ( un espacio vectorial de dimensión 2 y sea O = ;-,�, -,�, … , -,B< un sistema de C 
vectores linealmente independientes de ( siendo C ≤ 2. Entonces, existen 	2 − C� vectores -,BM�, -,BM�, … , -,3 de ( linealmente independientes entre sí y respecto al sistema O de forma que ;-,�, -,�, … , -,B, -,BM�, … , -,3	< sea una base de (. 
3.14 Operaciones con subespacios vectoriales 
3.14.1 Intersección de subespacios vectoriales 
Definición: Sean ?� y ?� dos subespacios del espacio vectorial (. Se llama intersección de los 
subespacios de ?� y ?� y se denota por ?� ∩ ?�, al conjunto de vectores de ( que pertenecen 
tanto ?� como a ?�: ?� ∩ ?� = %*+, ∈ (: *+, ∈ ?� ∧ *+, ∈ ?�& 
3.14.2 Suma de subespacios vectoriales 
Definición: Sean ?� y ?� dos subespacios del espacio vectorial (. Se llama suma de ?� y ?� y se 
denota por ?� + ?�, al conjunto de vectores: ?� + ?� = %*+,� + *+,�: *+,� ∈ ?� ∧ *+,� ∈ ?�& 
Este conjunto es un subespacio vectorial de (, siendo además el menor de los subespacios de ( 
que contienen tanto a ?�	como a ?�. 
Teorema: Sean ?� y ?� dos subespacios del espacio vectorial (, siendo O� = ;-,�, -,�, … , -,B< y O� = ;*+,�, *+,�, … , *+,G< bases de ?� y ?� respectivamente. Entonces ?� + ?� = 〈O� ∪ O�〉. 
 La dimensiones de los subespacios cumple la relación: 
QR7		?� + ?�� = QR7 	?� + QR7 	?� − QR7		?� ∩ ?�� 
3.14.3 Suma directa de subespacios vectoriales 
Definición: Sean ?� y ?� dos subespacios del espacio vectorial (. Si ?� ∩ ?� = ;0+,<, a la suma ?� + ?� se le llama suma directa de ?� y ?�	y se denota por ?�⨁?�. 
Teorema: La suma ?� + ?� es directa, si y sólo si, todo vector de ?� + ?� se puede 
descomponer de forma única como suma de un vector de ?� y otro vector de ?�. 
 
96 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Teorema: Si ?� + ?� es suma directa de los subespacios vectoriales ?� y ?�, siendo O� =;-,�, -,�, … , -,B< una base de ?� y O� = ;*+,�, *+,�, … , *+,G< una base de ?�, entonces O� ∪ O� es una 
base de ?� + ?� y se cumple: QR7 		?� + ?�� = QR7 	?� + QR7 	?� 
3.14.4 Subespacios suplementarios 
Definición: En un espacio vectorial ( dos subespacios ?� y ?� se dice que son suplementarios si 
todo vector *+, ∈ ( se puede descomponer de forma única como suma de un vector de ?� y otro 
vector de ?�. 
?� y ?� de ( son suplementarios ⇔	?�⨁?� = (	 ⇔	^ ?� + ?� = (?� ∩ ?� = ;0+,<W 
3.15 Matriz de cambio de base 
Sea ( un espacio vectorial de dimensión 2, y sean _ = %*+,�, *+,�, … , *+,3& y O = %-,�, -,�, … , -,3& 
dos bases del mismo. La siguiente expresión relaciona las coordenadas de un vector en ambas 
bases: 
	5,�` = 	-,�, -,�, … , -,3�`		5,�P 
siendo: 
- 	5,�P el vector columna formado por las coordenadas del vector 5, en la base O. 
- 	5,�`	el vector columna formado por las coordenadas del vector 5, en la base _. 
- 	-,�, -,�, … , -,3�` ∈ 83	ℝ�	la matriz de cambio de base, en la que la R-ésima columna 
corresponde a las coordenadas del vector -,E en la base _.