Deposito Algebra lineal (33)

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97 Espacio vectorial 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
P1. Indicar si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de ℝ� y ℝ� 
respectivamente: 
a) � = {(�, 
, �) ∈ ℝ�		|		2� + 
 = 3�; 	� − 
 = 0	} 
b) � = {(�, 
, �, �) ∈ 	ℝ�		|		� − 
 + 2� = �; 	� + 
 = 2� − 1} 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se comprueba si el vector nulo (�, 
, �) = (0,0,0) pertenece al subconjunto � ya que si no 
perteneciese, � no sería un subespacio vectorial 
�2 ∙ 0 + 0 = 3 ∙ 00 − 0 = 0 � 
Se cumplen ambas igualdades, por lo que � puede ser un subespacio vectorial de ℝ�. 
Para determinar si lo es, se debe demostrar que ∀	��, 
� ∈ � ∧ ∀	 , ! ∈ ℝ, �� + !
� ∈ � 
Sean �� = (�", 
", �") ∈ � e 
� = (�#, 
#, �#) ∈ �, por tanto, �� e 
� verifican las siguientes 
igualdades 
$		2�" + 
" = 3�"	(")�" − 
" = 0		(#) � y $2�# + 
# = 3�#	(�)�# − 
# = 0	(�) � 
Se forma el vector �� + !
� 
 �� + !
� = (�", 
", �") + !(�#, 
#, �#) = ( �" + !�#, 
" + !
#, �" + !�#) 
Para que 	 �� + !
� ∈ � se tiene que cumplir que 
%2( �" + !�#) + ( 
"+!
#) = 3( �" + !�#)(&)( �" + !�#) − ( 
"+!
#) = 0(') � 
Multiplicando ambos miembros de la ecuación (1) por , ambos miembros de la ecuación (3) 
por ! y sumando las ecuaciones resultantes se tiene 
( (2�" + 
") = (3�")+!(2�# + 
#) = !(3�#)� 	⇒ 	2 �" + 
" + 2!�# + !
# = 3 �" + 3!�#	 																																																														⇒ 2( �" + !�#) + ( 
"+!
#) = 3( �" + !�#) 
 
 
 
98 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Multiplicando ambos miembros de la ecuación (2) por , ambos miembros de la ecuación (4) 
por ! y sumando las ecuaciones resultantes se tiene 
( (�" − 
") = 0+!(�# − 
#) = 0� ⇒ �" − 
" + !�# − !
# = 0 ⇒	 ( �" + !�#) − ( 
"+!
#) = 0 
Por tanto el vector �� + !
� ∈ � ya que satisface las ecuaciones (5) y (6) y por ello � es un 
subespacio vectorial de ℝ�. 
 
b) Se comprueba si el vector nulo pertenece al subconjunto � 
�0 − 0 + 2 ∙ 0 = 00 + 0 ≠ 2 ∙ 0 − 1� 
No se cumple la segunda igualdad, es decir, el vector nulo no pertenece a W, por lo que � no es 
un subespacio vectorial de ℝ�. 
 
 
P2. Dado el conjunto 	� = {(�, 
, �, �) ∈ ℝ�	|	+� + 
 = ,�; 		,� − 2
 + + = � − ,}, calcular la 
relación entre los parámetros reales +	y ,	para que sea un subespacio vectorial de ℝ�. 
 
RESOLUCIÓN 
Para que		� sea un subespacio vectorial de ℝ� es necesario que el vector nulo 0.� = (0,0,0,0) 
satisfaga las ecuaciones del mismo. 
Si 0.� ∈ � ⇒ � + ∙ 0 + 0 = , ∙ 0, ∙ 0 − 2 ∙ 0 + + = 0 − , 	⇒ 	+ = −,	 ⇒ 	+ + , = 0	� 
Véase ahora si ∀	��, 
� ∈ � ∧ ∀	 , ! ∈ ℝ, �� + !
� ∈ � 
Sean �� = (�", 
", �", �") ∈ � e 
� = (�#, 
#, �#, �#) ∈ �, por lo que se verifica 
% 	+�" + 
" = ,�"	("),�" − 2
" + + = 	�" − ,	(#) � y % +�# + 
# = ,�#	(�),�# − 2
# + + = �# − ,	(�) � 
Se forma el vector �� + !
�	 �� + !
� = (�", 
", �", �") + !(�#, 
#, �#, �#) 																																																															= ( �" + !�#/00100234 , 
" + !
#/00100254 , �" + !�#/00100264 , �" + !�#)/00100274 
y se plantean las condiciones para que 	 �� + !
� ∈ � 
% +�� + 
� = ,��(&),�� − 2
� + + = 	 �� − ,(') � 
 
 
99 Espacio vectorial 
Multiplicando ambos miembros de la ecuación (1) por , ambos miembros de la ecuación (3) 
por ! y sumando las ecuaciones resultantes se tiene 
( (+�" + 
") = (,�")+!(+�# + 
#) = !(,�#)� 	⇒ 	+ �" + 
" + +!�# + !
# = , �" + ,!�# ⇒ 	+( �" + !�#) + ( 
"+!
#) = ,( �" + !�#) ⇒ +�� + 
� = ,�� 
Multiplicando ambos miembros de la ecuación (2) por y ambos miembros de la ecuación (4) 
por ! y sumando las ecuaciones resultantes se tiene 
( (,�" − 2
" + +) = (�" − ,)+!(,�# − 2
# + +) = !(�# − ,)� ⇒ , �" − 2 
" + + + ,!�# − 2!
# + +! = �" − , + !�# − !, ⇒ ,( �" + !�#) − 2( 
"+!
#) + +( + !) = ( �" + !�#) − ,( + !) 	⇒ ,�� − 2
� + +( + !) = 	 �� − ,( + !) 
Véase que, según las ecuaciones (5) y (6), el vector �� + !
�	satisface las condiciones para ser 
subespacio vectorial de ℝ� si 
	$+( + !) = +,( + !) = ,� ⇒ + = 0	y	, = 0		∀	 , ! ∈ ℝ 
Es decir, si + = 0 y , = 0, el vector �� + !
� satisface también la ecuación (6) por lo que 	�	es 
un subespacio vectorial de ℝ�. Obsérvese que dicha solución cumple la igualdad + + , = 0 
necesaria para que el vector nulo pertenezca a �. 
Resumiendo, para que � sea un subespacio vectorial de ℝ� es necesario que + = , = 0	. 
 
 
P3. Indicar si los vectores 9.� = (−2,1,0,1), :� = (0,1, −2,0), ;..� = (0,3,−2,−1) y �� =(1,0,1,−1) son linealmente dependientes o independientes. 
 
RESOLUCIÓN 
Se plantea la relación de dependencia o independencia lineal de forma que si solamente se 
cumple si todos los coeficientes de la relación son nulos, los vectores son linealmente 
independientes y en caso contrario linealmente dependientes. 
 ∙ 9.� + ! ∙ :� + 	< ∙ ;..� + = ∙ �� = 0.� 
 (−2,1,0,1) + !(0,1,−2,0) + <(0,3,−2,−1) + =(1,0,1,−1) = (0,0,0,0) ⇒