Deposito Algebra lineal (34)

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100 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
> −2 + = = 0 + ! + 3< = 0−2! − 2< + = = 0 − < − = = 0 	⇒� 	 =
=2 , ! = =, < = −=2								∀	= ∈ ℝ 
Entonces, se demuestra que los vectores 9.�, :�, ;..� y ��	son linealmente dependientes. 
 
 
P4. Demostrar que ? = {(1,2,1), (−2,0,1), (1,0,1)} es un sistema generador del espacio 
vectorial ℝ� utilizando la definición del sistema generador. 
 
RESOLUCIÓN 
? es un sistema generador de ℝ� si todo vector de ℝ� puede expresarse como combinación 
lineal de los vectores de ?. 
Es decir, se debe demostrar que 
∀�� = (�, 
, �) ∈ 	ℝ�		∃	+, ,, A	 ∈ ℝ ∶ �� = +(1, 2, 1) + ,(−2, 0, 1) + A(1, 0, 1) 
Realizando las operaciones se tiene el sistema (� = + − 2, + A
 = 2+� = + + , + A �	y resolviéndolo por la regla de 
Cramer su solución es 
CDE
DF , = 6G3�+ = 5#A = G5# + #6� + 3�
� 
Es decir, se ha demostrado que para todo elemento	�� de ℝ� existen +, ,, A	 ∈ ℝ, donde 
�� = +(1, 2, 1) + ,(−2, 0, 1) + A(1, 0, 1) 
En conclusión, ? es un sistema generador de ℝ�. 
 
 
P5. Sea el sistema H = {9.�, :�,;..�} siendo 9.� = (1,I,−2), :� = (I + 1,0,1) y ;..� = (2,0,2I − 1). 
a) Calcular el valor del parámetro real I para que el sistema de vectores sea libre. 
b) ¿Puede ser H una base de ℝ�? En caso afirmativo, hallar las coordenadas del vector	�� =(−2,2,2) en dicha base para el valor I = −1. 
 
 
 
 
 
101 Espacio vectorial 
RESOLUCIÓN 
a) El sistema de vectores H es libre si JK L			1 I + 1 2		I 0 0−2 1 2I − 1M = 3. 
Se calculan los valores del parámetro real I que anulan el determinante 
N			1 I + 1 2		I 0 0−2 1 2I − 1N = 0 ⇒ 3I −I# − 2I� = 0 ⇔ >
I = 0I = 1I = −32� 
Cuando I ∈ ℝ− {0, 1, −3/2} el sistema H es libre. 
 
b) Para los valores del apartado anterior, el sistema H es una base de ℝ� ya que está formado 
por tres vectores linealmente independientes y pertenece a un espacio vectorial de dimensión 3. 
Si I = −1, el sistema de vectores H es {9.�, :�,;..�} donde 9.� = (1,−1,−2), :� = (0,0,1)	y ;..� = (2,0,−3). 
Para calcular las coordenadas del vector �� en la base H basta plantear la ecuación 
�� = ∙ 9.� + ! ∙ :� + 	< ∙ ;..�	⇒	(−2,2,2) = (1,−1,−2) + !(0,0,1) + 	<(2,0,−3) ⇒ 
( −2 = + 2<2 = − 2 = −2 + ! − 3< 	⇒ 	 = −2, ! = −2, < = 0� 			⇒ 	 		��Q = (−2,−2,0)	Q 
 
 
P6. Sea 	R = {:�", :�#, :��} una base de ℝ� siendo :�" = (1,0,1), 		:�# = (−2,0,−1) y :�� =(2,−1,1) y sea el vector :� = 3:�" − 2:�# − :��. Sea S un subespacio vectorial de ℝ� siendo S = {9.�", 9.�#} una base del mismo, donde 9.�" = (0,1, −1) y 9.�# = (1,0,1). 
a) Hallar las coordenadas del vector :� en la base canónica de ℝ�. 
b) Indicar si el vector :� pertenece al subespacio ? y en caso afirmativo, calcular sus 
coordenadas respecto de la base S. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Sustituyendo :�", :�# y :�� en la expresión del vector :� se tiene :� = 3:�" − 2:�# − :�� ⇒ :� = 3(1,0,1) − 2(−2,0,−1) − (2,−1,1) ⇒ :� = (5,1,4) 
Las coordenadas del vector :� en la base canónica son :�V = (5,1,4)V. 
 
b) Como ? = 〈9.�", 9.�#〉 , ∀	�� ∈ ?, ∃ , ! ∈ ℝ:	�� = 	(0,1, −1) + !(1,0,1) = (!, , − + !)	
 
 
102 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Es decir, el vector :� pertenecerá al subespacio ? si es de la forma (!, , − + !). Igualando 
ambos términos 
(5,1,4) = (!, , − + !) ⇒ ( 5 = !1 = 4 = − + !� ⇒ = 1	y	! = 5 
Por tanto, el vector :� pertenece al subespacio ? y sus coordenadas en la base S	son :�Z =(1,5)Z. 
 
 
P7. Sea ℙ#(�) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos con \(�) =+ + ,� + A�# donde +, ,, A ∈ ℝ. 
a) Dado el polinomio \"	(�) = 3 y considerando la constante de integración nula, demostrar que 
el sistema � = {\"	(�), ] \"	(�)^� ,∬(\"	(�)^(�)) ^�} es una base de ℙ#(�) 
b) Hallar las coordenadas del vector −1+ 3� + 2�# en la base �. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se calculan los vectores del sistema � 
`\"(�)^� =3�, a(\"(�)^�)^� = 32�# 
Se plantea la relación de dependencia o independencia lineal entre los vectores del sistema � = �3,3�, �# �#b para comprobar si forman un sistema libre o ligado 
< ∙ 32 �# + ! ∙ 3� + ∙ 3 = 0 · �# + 0 · � + 0 ⇒ >
32< = 0 ⇒ < = 03! = 0 ⇒ ! = 03 = 0 ⇒ = 0� 
El sistema � es libre. Dado que � tiene 3 vectores linealmente independientes y la dimensión de ℙ#(�) es 3, el sistema anterior es una base del espacio vectorial ℙ#(�). 
 
b) Para calcular las coordenadas del vector −1+ 3� + 2�#	se plantea la ecuación 
−1 + 3� + 2�# 	= 	 ∙ 3 + ! ∙ 3� + < ∙ 32 �# ⇒ CDE
DF3 = −1 ⇒ = −133! = 3 ⇒ ! = 132< = 2 ⇒ < = 43
�