Deposito Algebra lineal (35)

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103 Espacio vectorial 
Por tanto las coordenadas del vector −1 + 3� + 2�# en la base � = �3,3�, �# �#b son d− "� , 1, ��ef. 
 
 
P8. Calcular la dimensión, las ecuaciones implícitas y las ecuaciones paramétricas de los 
siguientes subespacios vectoriales: 
a) ? = 〈(1, −1,0), (0,1,0)〉 
b) g = 〈(1,2,1,0), (2, −1,1,0), (0,0,0,1)〉 
c) � = 〈(1,0,2,0), (2,0,0, −1)〉 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se calcula la dimensión del subespacio vectorial ? = 〈(1, −1, 0), (0, 1, 0)〉 
h 1 0−1 1h ≠ 0 ⇒ ^iI ? = 2 
Se sabe que ^iI ? = ^iI ℝ� − \ siendo \ el número de ecuaciones implícitas linealmente 
independientes del subespacio vectorial ?. 
En este caso 2 = 3 − \ ⇒ \ = 1. Esto indica que ? únicamente tiene una ecuación implícita. 
Para calcularla se exige que JK L� 1 0
 −1 1� 0 0M = 2 siendo (�, 
, �) ∈ ?. Es decir 
N� 1 0
 −1 1� 0 0N = 0 ⇒ � = 0 
Entonces la ecuación implícita del subespacio vectorial ? es � = 0. 
Para obtener las ecuaciones paramétricas de ?, se expresa un vector cualquiera (�, 
, �) ∈ ? 
como combinación lineal de los vectores del sistema generador 
(�, 
, �) = (1, −1,0) + !(0,1,0) = ( , − + !, 0) 
Es decir, las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial ? son 
% � = 
 = − + !� = 0 , ∀ , ! ∈ ℝ� 
b) Se calcula la dimensión del subespacio vectorial g = 〈(1, 2, 1, 0), (2, −1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)〉 
N2 −1 01 1 00 0 1N = 3 ≠ 0 ⇒ ^iI g = 3 
 
 
104 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Procediendo de forma similar al apartado anterior 
	^iI g = ^iIℝ� − 	\ ⇒ 	3 = 4 − \ ⇒ \ = 1 
Se obtiene la ecuación implícita del subespacio vectorial g	considerando que el vector (�, 
, �, �) ∈ g es combinación lineal de los vectores (1, 2, 1, 0), (2,−1, 1, 0) y (0, 0, 0, 1) que 
generan g, o lo que es lo mismo 
j� 1 			2 0
 2 −1 0�� 10 			1 0			0 1j = 0 ⇒ j
� 1 			2 0
 2 −1 0�� 10 			1 0			0 1j = (−1)
�k� N� 1 				2
 2 −1� 1 			1N = 0 ⇒ 3� + 
 − 5� = 0 
La ecuación implícita del subespacio vectorial g es 3� + 
 − 5� = 0. 
Para obtener las ecuaciones paramétricas, se debe analizar la expresión de cualquier elemento 
del subespacio vectorial g 
(�, 
, �, �) = (1,2,1,0) + !(2,−1,1,0) + <(0,0,0,1) = ( + 2!, 2 − !, + !, <) 
En conclusión, las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial g son 
>� = + 2!
 = 2 − !� = + !� = < ,			∀	 , !, <	 ∈ ℝ� 
 
c) Se repite el mismo proceso que en los apartados anteriores para el subespacio � =〈(1, 0, 2, 0), (2, 0, 0, −1)〉 
h2 			00 −1h ≠ 0 ⇒ ^iI ? = 2 	^iI� = ^iIℝ� − 	\ ⇒ 2 = 4 − \ ⇒ \ = 2 
En este caso se deben obtener dos ecuaciones implícitas de � 
JKl� 1 			2
 0 			0�� 20 			0−1m = 2 
Dado que \ = 2, se consideran dos menores de orden 3 de forma que las ecuaciones resultantes 
sean linealmente independientes 
N
 	0 			0� 	2 			0� 	0 −1N = 0 ⇒ −2
 = 0 ⇒ 
 = 0;				N
� 	1 			2� 	2 			0� 	0 −1N = 0 ⇒ −2� − 4� + � = 0	 
Las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial � son � 
 = 0−2� − 4� + � = 0	� 
 
 
 
105 Espacio vectorial 
Las ecuaciones paramétricas se obtienen planteando la siguiente combinación lineal 
(�, 
, �, �) = (1,0,2,0) + !(2,0,0,−1) = ( + 2!, 0,2 ,−!) 
Con lo que las ecuaciones paramétricas de � son 
>� = + 2!
 = 0� = 2 � = −! ,					∀ , ! ∈ ℝ� 
 
 
P9. Sea el conjunto ? = {\(�) ∈ ℙ�	(�)|	\n(−1) = 0}. 
a) Demostrar que	? es un subespacio vectorial. 
b) Obtener una base del subespacio y calcular su dimensión. 
c) Completar la base del subespacio	? de forma que se obtenga una base del espacio vectorial ℙ�(�). 
 
RESOLUCIÓN 
a) ? es un subespacio vectorial si se verifica que 
∀	\(�), o(�) ∈ ?	 ∧ ∀	 , ! ∈ ℝ, J(�) = \(�) + !o(�) ∈ ? 
Es decir, partiendo de dos polinomios pertenecientes a ? se debe comprobar que cualquier 
combinación lineal de ellos pertenece también a ?. 
Para comprobar si el polinomio J(�) es un elemento de ? se debe estudiar si satisface la 
condición J′(−1) = 0. 
Por tanto, derivando la expresión y sustituyendo el valor −1 se tiene que 
J′(�) = 	 \′(�) + !o′(�) 	⇒ 		J′(−1) = 	 \′(−1) + !o′(−1) ( )( )p x Sq x S∈∈= · 0 + ! · 0 = 0 
En conclusión,	J(�) ∈ ?, es decir, ? es un subespacio vectorial de ℙ�(x). 
 
b) Sea \(�) = +�� + ,�# + A� + ^ ∈ ℙ�(x). Si \(�) pertenece a ? se cumple \n(−1) = 0 ⇒ 3+ − 2, + A = 0	 ⇒ A = −3+ + 2,	 
Es decir, la expresión general de cualquier polinomio perteneciente al subespacio vectorial ? es 
		\(�) = +�� + ,�# + (−3+ + 2,)� + ^ ⇒ 	\(�) = +(�� − 3�) + ,(�# + 2�) + ^