Deposito Algebra lineal (36)

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106 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Por tanto, cualquier elemento de ? puede expresarse como combinación lineal de los elementos 
del sistema S = {�� − 3�, 	�# + 2�, 1}	, es decir, S es un sistema generador del subespacio 
vectorial ?. Véase si es un sistema libre 
 "(�� − 3�) + #(�# + 2�) + � = 0	 ⇒ 	 "�� + #�# + (−3 " + 2 #)�+ � = 0	 ⇒ 	 " = # = � = 0	 ⇒ S es un sistema libre. 
Resumiendo, 	S además de ser un sistema generador es un sistema libre, por lo que es una base 
del subespacio vectorial ?. 
 
c) Dado que ̂iI	ℙ�(�) 	= 4	y ^iI		? = 3, utilizando el teorema de la base incompleta basta 
añadir un vector linealmente independiente a la base S para obtener una base del espacio 
vectorial 	ℙ�(�)	. 
Considérese el sistema		S′ = {�� − 3�, �# + 2�, �, 1}, generado al añadir a la base S el 
polinomio �. Véase si este sistema es libre 
 "(�� − 3�) + #(�# + 2�) + �� + � = 0	 ⇒ "�� + #�# + (−3 " + 2 #+ �)� + � = 0 " = # = � = � = 0		 S′ = {�� − 3�, �# + 2�, �, 1} es un sistema libre y por tanto es una base del espacio vectorial ℙ�(�)	. 
 
 
P10. Sea el espacio vectorial ℝ� y sean R = {+�", +�#, +��, +��} y S = r,.�", ,.�#, ,.��, ,.��s dos bases del 
mismo donde +�" = ,.�" − ,.�#, +�# = 2,.��, +�� = ,.�" + 2,.�� y +�� = ,.�# − ,.��. 
a) Calcular las coordenadas del vector �� en la base S sabiendo que sus coordenadas en la 
base R son ��t = (1,0, −1,−1)t. 
b) Calcular las coordenadas del vector 
� en la base R sabiendo que sus coordenadas en la base S 
son 
�Z = (1,1,0,−1)u. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se calculan las coordenadas del vector �� en la base S utilizando la definición de coordenadas 
de un vector en una base. Sean (�", �#, ��, ��) las coordenadas de �� en la base S, entonces 
�� = �" ∙ ,.�" + �# ∙ ,.�# + �� ∙ ,.�� + �� ∙ ,.��	(")	
Como �t = (1,0, −1,−1)t ⇒ �� = 1 ∙ +�" + 0 ∙ +�# + (−1) ∙ +�� + (−1) ∙ +�� 
 
 
 
107 Espacio vectorial 
Se sustituyen los valores de +�", +�#, +�� y +�� en esta ecuación 
�� = 1 ∙ v,.�" − ,.�#w + 0 ∙ 2,.�� + (−1) ∙ v,.�" + 2,.��w + (−1) ∙ v,.�# − ,.��w ⇒ 
																						�� = −2,..�2 + ,..�3 − 2,..�4		(#) 
Igualando las expresiones (1) y (2) se tiene > �" = 0			�# = −2�� = 1			�� = −2
� 
Por tanto las coordenadas del vector �� en la base S son ��Z = (0,−2,1, −2)Z. 
Otro método para calcular las coordenadas del vector �� en la base S es utilizar la fórmula del 
cambio de base 
��Z = (+�", +�#, +��, +��)Z · ��t	
x�"�#����yZ = x
			1 0 	1 			0−1 0 	0 			1			00 20 	02 −1			0yZ x
			1			0−1−1yt ⇒ x
�"�#����yZ = x
			0−2			1−2yZ 
 
b) Se calculan las coordenadas del vector 
� en la base R utilizando la definición de coordenadas 
de un vector en una base. Sean (
", 
#, 
�, 
�) las coordenadas de 
� en la base R 
� = 
" ∙ +�" + 
# ∙ +�# + 
� ∙ +�� + 
� ∙ +��	
Se sustituyen los valores de +�", +�#, +�� y +�� en esta ecuación 
� = 
" ∙ v,.�" − ,.�#w + 
# ∙ 2,.�� + 
� ∙ v,.�" + 2,.��w + 
� ∙ v,.�# − ,.��w ⇒ 
			
� = (
" + 
�),.�" + (−
" + 
�),.�# + (2
# − 
�),.�� + 2
�,.��		(�) 
Como 
�Z = (1,1,0,−1)Z ⇒	
� = 1 ∙ ,.�" + 1 ∙ ,.�# + 0 ∙ ,.�� + (−1) ∙ ,.��		(�)	
Igualando las expresiones (3) y (4) se tiene 
> 
" + 
� = 1−
" + 
� = 12
# − 
� = 02
� = −1
� 	⇒ 	> 
" = 3/2
# = 5/4
� = −1/2
� = 5/2
� 
Por tanto las coordenadas del vector 
� en la base R son 
�t = d�# , &� , − "# , &#et. 
Al igual que en el apartado anterior, un método alternativo para calcular las coordenadas del 
vector 
� en la base R es utilizar la fórmula del cambio de base 
�Z = (+�", +�#, +��, +��)Z · 	
�t	
 
 
108 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
x			1			1			0−1yZ = x
			1 0 	1 			0−1 0 	0 			1			00 20 	02 −1			0yZ x
"
#
�
�yt ⇒ x
			1 0 	1 			0−1 0 	0 			1			00 20 	02 −1			0yZ
G"x			1			1			0−1yZ = x
"
#
�
�yt ⇒ 
											l 		1 0 	1 			−1/21/2 1/2 1/2 −1/4			01 01 	00 						1/2			−1/2m	x
			1			1			0−1yZ = x
"
#
�
�yt ⇒	x
"
#
�
�yt = 	l
					3/2					5/4	−1/2					5/2mt 
 
 
P11. Sea el sistema de matrices S = �d1 −10 			0e , d			1 0−1 0e , d0 10 0e , d1 00 1eb. 
a) Demostrar que S es una base de z#(ℝ). 
b) Sea R" = d2 			43 −2e en la base S, calcular las coordenadas de la matriz R" en la base 
canónica. 
c) Sea R# = d3 −12 			2e en la base canónica, calcular las coordenadas de la matriz R# en la base S. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Como ̂ iI	z#(ℝ) = 4, para demostrar que S es una base de z#(ℝ) basta comprobar que es 
un sistema libre 
 ∙ d1 −10 			0e + ! ∙ d			1 0−1 0e + < ∙ d0 10 0e + = ∙ d1 00 1e = d0 00 0e ⇒ 
{ + ! + = − + <−! 			= | = d0 00 0e ⇒ = ! = < = = = 0 
S	es un sistema libre, por tanto es una base de 	z#(ℝ). 
 
b) Se calculan las coordenadas de la matriz R" en la base canónica utilizando la definición de 
coordenadas de un vector en una base 
{ !< =|V = 2 ∙ d1 −10 			0e + 4 ∙ d			1 0−1 0e + 3 ∙ d0 10 0e + (−2) ∙ d1 00 1e ⇒ 
{ !< =|V = d			4 			1−4 −2eV 
Por tanto las coordenadas de R" en la base canónica son x					4					1		−4		−2yV.