Deposito Algebra lineal (37)

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109 Espacio vectorial 
A continuación se vuelven a calcular las coordenadas de la matriz R" en la base canónica 
mediante la fórmula del cambio de base 
x�"�#����yV = x
			1 			1 0 1−1 			0 1 0			0			0 −1			0 0 00 1yV x
				2				4				3−2yZ ⇒ x
�"�#����yV = x
					4					1		−4		−2yV 
 
c) Se calculan las coordenadas de la matriz R# en la base S utilizando la definición de 
coordenadas de un vector en una base 
 ∙ d1 −10 			0e + ! ∙ d			1 0−1 0e + < ∙ d0 10 0e + = ∙ d1 00 1e = d3 −12 			2e ⇒ 
{ + ! + = − + <−! = | = d3 −12 		2 e ⇒ >
 + ! + = = 3− + < = −1−! = 2= = 2 	� ⇒ >
 = 3! = −2< = 2= = 2 � 
Por tanto las coordenadas de R# en la base S son x			3−2			2			2yZ. 
De forma similar al apartado anterior, se utiliza la fórmula de cambio de base comprobando que 
las coordenadas de la matriz R# en la base S son las anteriores 
x				3	−1				22yV = x
			1 			1 0 1−1 			0 1 0			0			0 −1			0 0 00 1yV x
�"�#����yZ ⇒ x
			1 			1 0 1−1 			0 1 0			0			0 −1			0 0 00 1yV
G"x				3	−1				22yV =	x
�"�#����yZ ⇒ 
 																									x1 0 			1 −10 0 −1 			010 1	0 			1 −10 			1yx
				3	−1				22yV =	x
�"�#����yZ ⇒	x
�"�#����yZ =	x
			3−2			2			2yZ 
 
 
P12. En el espacio vectorial de las matrices reales de dimensión 2x2 se considera el 
subconjunto ? = �d + ,, + + +e		|		+, ,	 ∈ ℝb. 
a) Demostrar que ? es un subespacio vectorial. 
b) Calcular una base del subespacio vectorial ?. 
c) Sea g = �d� 
 �e |	�, 
	 ∈ ℝb otro subespacio vectorial de z#(ℝ), calcular el subespacio 
vectorial ?⋂g. 
 
 
 
 
110 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
RESOLUCIÓN 
a) ? es un subespacio vectorial si se verifica que 
∀ , ! ∈ ℝ, ∀R, S ∈ ?	, ~ = 	 R + !S ∈ ? 
A partir de las matrices R = d + ,, + + +e y S = d A ^^ + A Ae del subconjunto ? se forma el 
vector ~ = 	 R + !S 
~ = 	 d + ,, + + +e	+ ! d A ^^ + A Ae = 	 { + + !A , + !^ , + + + !^ + !A + + !A| ⇒�����k�������k�� 
										~ = 	 d +′ ,′,n + +′ +′e 	∈ ?	 ⇒ 	? es un subespacio vectorial. 
 
b) Para obtener una base del subespacio vectorial ?, se calcula un sistema generador y se estudia 
si dicho sistema es libre. 
Sea R una matriz genérica del subespacio vectorial ? 
∀	R ∈ ?, ∃+, , ∈ ℝ ∶ 	R = d + ,, + + +e 
Esta matriz se puede descomponer de la siguiente manera 
R = d + ,, + + +e = d+ 0+ +e + d0 ,, 0e = + d1 01 1e + , d0 11 0e 
Por tanto, S = �d1 01 1e , d0 11 0eb es un sistema generador del subespacio vectorial ?. 
Véase si el sistema S es libre 
 " d1 01 1e + # d0 11 0e = d0 00 0e 		⇒ d " # " + # "e = d0 00 0e 	⇒ " = # = 0 
S	es un sistema libre, en conclusión, S = �d1 01 1e , d0 11 0eb es una base del subespacio 
vectorial ?. 
 
c) Cualquier matriz del subespacio ?⋂ g pertenece a ambos subespacios, es decir 
∀	R ∈ ? ∩ g, R ∈ ?	 ∧ 	R ∈ g 
�				Si	R ∈ ? ⇒ ∃+, , ∈ ℝ:	R = d + ,, + + +eSi		R ∈ g	 ⇒ ∃�, 
	 ∈ ℝ:	R = d� 
 �e �D�
D�
 ⇒ d + ,, + + +e = d� 
 �e 
																																																																								⇒ ( + = �, = 
, + + = 
 ⇒ + = 0� ⇒ � = 0			∀	,, 
 ∈ ℝ 
 
 
111 Espacio vectorial 
Cualquier elemento perteneciente a la intersección es de la forma R = {0 
 0|,	por lo que el 
subespacio vectorial es 	?⋂ g = ${0 
 0| 		 |	
	 ∈ ℝ�. 
 
 
P13. Sean ? = {(0,− , 0, !)|	 , !�	ℝ} y g = {(�", �#, ��, ��)|	�� = −��} dos subespacios 
vectoriales de ℝ�. 
a) Obtener una base de cada uno de ellos. 
b) Obtener una base del subespacio ?⋂g. 
c) Obtener una base del espacio vectorial ℝ� que contenga una base del subespacio vectorial 
? + g. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Para obtener una base del subespacio vectorial ? es necesario hallar un sistema generador 
libre del mismo 
∀�� = (�", �#, ��, ��) ∈ ?, ∃ , ! ∈ ℝ ∶ 	 �� = (�", �#, ��, ��) = 	 (0,−1,0,0) + !(0,0,0,1)	
Por lo que, S� = {(0,−1,0,0), (0,0,0,1)} es una sistema generador de ?. Véase si es un sistema 
libre 
 "(0,−1,0,0) + #(0,0,0,1) = (0,0,0,0) ⇒ " = # = 0 ⇒ S� es un sistema libre. 
Es decir, S� = {(0,−1,0,0), (0,0,0,1)} es una base del subespacio vectorial ?. 
Se procede de forma análoga para el subespacio vectorial g 
∀�� ∈ g, ∃�", �#, �� ∈ ℝ:�� = (�", �#, ��, −��) �� = (�", 0, 0,0) + (0, �#, 0,0) + (0,0, ��, −��) = �"(1,0,0,0) + �#(0,1,0,0) + ��(0,0,1,−1) 
Por tanto, S� = {(1,0, 0,0), (0,1, 0,0), (0,0, 1,−1)} es un sistema generador de g. Se debe 
comprobar si además es un sistema libre 
 "(1,0, 0,0) + #(0,1, 0,0) + �(0,0, 1, −1) = (0,0,0,0) ⇒ " = # = � = 0 S� es un sistema libre, por lo que S� = {(1,0, 0,0), (0,1, 0,0), (0,0, 1, −1)} es una base de g. 
 
b) ∀�� ∈ ?⋂ g	 ⇒ �� ∈ ? ∧	�� ∈ g. Se considera un vector perteneciente a ambos subespacios 
� �� ∈ ?, ∃ , ! ∈ ℝ:	�� = 	 (0,− , 0, !)�� ∈ g, ∃�", �#, �� ∈ ℝ: �� = (�", �#, ��, −��)�