Deposito Algebra lineal (39)

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115 Espacio vectorial 
CUESTIONES RESUELTAS 
 
C1. Sea � = {:�", :�#, :��} una base ℝ�, determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas 
o falsas: 
a) �" = {:�", :�# − :�", :��} es una base de ℝ�. 
b) �# = {−:�" + :�# + :��, :�# − :��, −:��} es una base de	ℝ�. 
c) �� = {−:�" + :�# + :��, :�# − :��, 2:�� − :�"} es una base de ℝ�. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Verdadero. Si � = {:�", :�#, :��} es una base de ℝ�, los vectores :�", :�#	y :��	son linealmente 
independientes y el determinante formado por estos tres vectores es no nulo, es decir, 
|:�", :�#, :��| ≠ 0. 
Por las propiedades de los determinantes, se sabe que |:�", :�#, :��| 2 1C C−= |:�", :�# − :�", :��|, y como 
|:�", :�#, :��| ≠ 0	 ⇒ |:�", :�# − :�", :��| ≠ 0. 
Es decir, �" = �:�", :�# − :�", :��� es un sistema libre. Además como la dimensión del espacio 
vectorial ℝ� es 3, �" = �:�", :�# − :�", :��� es una base de ℝ�. 
 
b) Verdadero. Procediendo de forma similar al apartado anterior se tiene 
|:�", :�#, :��|
2 1
3 1
C C
C C
−
−
= |:�", :�# − :�", :�� − :�"| 1 2 3C C C+ += |−:�" + :�# + :��, :�# − :�", :�� − :�"| 2 3C C−= 
																												= |−:�" + :�# + :��, :�# − :��, :�� − :�"| 3 1 2C C C− += |−:�" + :�# + :��, :�# − :��, −:��| 
Como |:�", :�#, :��| ≠ 0, entonces |−:�" + :�# + :��, :�# − :��, −:��| ≠ 0. 
Por lo que �# = �−:�" + :�# + :��, :�# − :��, −:��� es un sistema libre y como la dimensión del 
espacio vectorial ℝ� es 3, �# es una base de ℝ�. 
 
c) Falso. El vector 2:�� − :�"	del sistema �� es combinación lineal de los otros dos vectores del 
sistema 
2:�� − :�" = (−:�" + :�# + :��) − (:�# − :��) 
Entonces, �� no es libre, con lo que no puede ser una base de ℝ�. 
 
 
 
 
116 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
C2. Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: si los sistemas � = {:�", :�#, :��} y � = {9.�", 9.�#, 9.��} de ℝ� son libres, entonces el sistema � = {:�" + 9.�", :�# + 9.�#, :�� + 9.��} 
también es libre. 
 
RESOLUCIÓN 
Falso. Dado un sistema libre � = {:�", :�#, :��} basta escoger un sistema libre � = {9.�", 9.�#, 9.��} tal 
que :�� = −9.�� para algún i = 1, 2, 3. Supóngase que :�" = −9.�", entonces, � = r0.�, :�# +9.�#, :�� + 9.��s no es libre, ya que contiene al vector nulo. 
 
 
C3. Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: las coordenadas del vector nulo 
respecto de cualquier base de ℝ� son nulas. 
 
RESOLUCIÓN 
Verdadero. Esta afirmación se demuestra mediante reducción al absurdo. Supóngase que existe 
alguna base � = {:�", :�#, … , :��} en ℝ� en la que el vector nulo se expresa como 
0.� = " · :�" + # · :�# +⋯+ � · 	:�� siendo algún � ≠ 0 
Entonces, el sistema de vectores � = {:�", :�#, … , :��} no es libre, lo cual es imposible porque �	es una base. Por tanto se ha demostrado que las coordenadas del vector nulo en cualquier base 
de ℝ� son nulas. 
 
 
C4. En el espacio vectorial ℝ& se consideran los subespacios vectoriales ? y g siendo 	^iI ? =2 y ̂ iI g = 4. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 
a)	^iI ? + ^iIg ≥ ^iI	(? + g) 
b) ̂ iI(? ∩ g) = 1 
c) 1 ≤ ^iI	(? ∩ g) ≤ 2 
 
RESOLUCIÓN 
a) Verdadero. La suma de subespacios cumple que 
 
 
117 Espacio vectorial 
^iI(? + g) = ^iI ? + ^iIg − ^iI	(? ∩ g). 
Como ̂ iI	(? ∩ g) ≥ 0, entonces, ̂iI ? + ^iIg ≥ ^iI	(? + g). 
 
b) Falso. Para que la desigualdad sea cierta debe cumplirse que ? + g = ℝ&. 
Además como se verifica la igualdad ^iI(? + g) = ^iI ? + ^iIg − ^iI	(? ∩ g), en general, 
se satisface que ^iI(? + g) ≤ 5 
^iI(? + g) = ^iI ? + ^iIg − dim(? ∩ g) ≤ 5 ⇒ 2 + 4 − ^iI(? ∩ g) ≤ 5 ⇒ ^iI	(? ∩ g) ≥ 1 
 
c) Verdadero. En el apartado anterior se ha demostrado que ̂iI	(? ∩ g) ≥ 1. 
Además, como ? ∩ g ⊆ ? ⇒ ^iI	(? ∩ g) ≤ ^iI ? = 2 ⇒ ^iI	(? ∩ g) ≤ 2. 
Teniendo en cuenta ambas desigualdades se puede concluir que 1 ≤ ^iI	(? ∩ g) ≤ 2