Deposito Algebra lineal (38)

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112 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Igualando ambas expresiones se tiene > �" = 0�# = − �� = 0−�� = !
� ⇒ � = −�#! = 0 � 
En conclusión, ∀�� ∈ ?⋂ g	 ⇒ 	 �� = (0, �#, 0,0) = �#(0,1,0,0), ∀	�# ∈ ℝ. 
Es decir, S�⋂ �			 = {(0,1,0,0)} es un sistema generador de ?⋂ g, y como este sistema sólo 
contiene un vector no nulo, es un sistema libre. Por tanto, S� ⋂ �			 = {(0,1,0,0)} es una base del 
subespacio vectorial	?⋂ g. 	
c) Para obtener una base de ℝ� que contenga la base del subespacio vectorial ? + g, 
previamente se debe obtener la base de dicho subespacio. Se sabe que 
{(0,−1,0,0), (0,0,0,1), (1,0, 0,0), (0,1, 0,0), (0,0, 1, −1)} 
es un sistema generador de ? + g. 
Además, ̂ iI(? + g) = ^iI ? + ^iIg − ^iI(?⋂ g) = 2 + 3 − 1 = 4. 
Por tanto, para determinar una base de ? + g	 basta seleccionar cuatro vectores linealmente 
independientes del sistema generador anterior. 
 Como �			0 0 1 			0−1 0 0 			0			00 01 0 			1	0 −1	� ≠ 0 ⇒	 S�k� = {(0,−1,0,0), (0,0,0,1), (1,0, 0,0), (0,0, 1, −1)} es un 
sistema libre, es decir, es una base de ? + g. 
Además, � ? + g	⊆	ℝ�^iI( ? + g) = ^iIℝ�� 	⇒ ? + g = ℝ� ⇒ una base de ℝ� que contiene la base de ? + g es la propia base 	S�k� = {(0,−1,0,0), (0,0,0,1), (1,0, 0,0), (0,0, 1,−1)}. 
 
 
P14. Sean ? = 〈(1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)〉 y 	g = {(�", �#, ��, ��)|	�" − �� − �� = 0, 	�# + �� =0} dos subespacios vectoriales de ℝ�. 
a) Obtener una base de cada uno de ellos. 
b) Calcular el subespacio ?⋂g. 
c) Calcular ? + g ¿Es suma directa? 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se calcula una base del subespacio vectorial ? = 〈(1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)〉. Véase si el sistema 
de vectores {(1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} es un sistema libre 
 "(1, 0, 0, 1) + #(0, 0, 1, 1) = (0,0,0,0) ⇒ " = # = 0 
 
 
113 Espacio vectorial 
Es decir, S� = {(1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} es un sistema libre y generador de ?		y por ello es una 
base del mismo. 
A continuación se obtiene una base del subespacio vectorial g 
g = {(�", �#, ��, ��)|	�" − �� − �� = 0, 	�# + �� = 0} ∀�� ∈ g, ∃��, �� ∈ ℝ: �� = (�� +	��, −��, ��, ��), es decir �� = (��, −��, 0, ��) + (	��, 0, ��, 0) ⇒ �� = ��(1, −1, 0,1) + ��(1,0, 1,0)	S� = {(1,−1, 0,1), (1,0, 1,0)} es un sistema generador de g. 
Además el sistema de vectores es libre puesto que 
 "(1, −1, 0,1) + #(1,0, 1,0) = (0,0,0,0) ⇒ " = # = 0 
Entonces S� = {(1,−1, 0,1), (1,0, 1,0)}	 es una base de T. 
 
b) Para obtener una base del subespacio vectorial ?⋂ g	se analiza la expresión general de 
cualquier elemento del mismo 
Se sabe que ∀�� ∈ ?⋂ g	 ⇒ �� ∈ ? ∧	�� ∈ g 
� �� ∈ ?, ∃ , ! ∈ ℝ, �� = 	 ( , 0, !, + !)�� ∈ g, ∃��, �� ∈ ℝ, �� = (�� +	��, −��, ��, ��)�	 
Igualando ambas expresiones >�� +	�� = −�� = 0�� = !�� = + !
� ⇒ $ = ! = 0�� =	�� = 0� 
Por lo que ?⋂ g = r0.�s. 
 
c) Se calcula la dimensión del subespacio vectorial ? + g 
^iI(? + g) = ^iI ? + ^iI g − ^iI(? ∩ g) = 2 + 2 − 0 = 4 
Como ^iI(? + g) = 4 y ? + g⊆ℝ�, entonces ? + g = ℝ�. Además como ? ⋂ g = r0.�s, la 
suma es directa ⇒ ? ⊕ g = ℝ�. 
 
 
P15. Sean ? = �(�", �#, ��, ��)|	�" + �# = 0, 	�� − 2�� = 0} y g = {(�", �#, ��, ��)|	�" −		�# + �� = 0} dos subespacios vectoriales de ℝ�. 
a) Obtener una base de cada uno de ellos. 
b) Obtener una base del subespacio ?⋂g. 
c) Calcular ? + g. ¿Es suma directa? 
 
 
 
114 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
RESOLUCIÓN 
Para calcular una base del subespacio vectorial ? se obtiene un sistema generador del mismo 
∀�� = (�", �#, ��, ��) ∈ ?, ∃�#, �� ∈ ℝ:	�� = (−	�#, �#, 2��, ��) = (−	�#, �#, 0,0) + (0,0,2��, ��) 
 = �#(−	1,1,0,0) + ��(0,0,2	,1) 
Es decir, S� = {(−	1,1,0,0), (0,0,2	,1)} es un sistema generador de ?. Para comprobar si es una 
base, se debe estudiar si es un sistema libre "(−	1,1,0,0) + #(0,0,2	,1) = (0,0,0,0) ⇒ 	 " = # = 0 ⇒ S� es un sistema libre ⇒ S� = {(−	1,1,0,0), (0,0,2	,1)} es una base del subespacio vectorial	?. 
Procediendo de forma similar para el subespacio vectorial g 
∀�� = (�", �#, ��, ��) ∈ g, ∃�", ��, �� ∈ ℝ:	�� = (�", �" +	��, ��, ��) = (�", �", 0,0) + 							+	(0,0, ��, 0) + (0, ��, 0, ��) = �"(1,1, 0,0) + ��(0,0,1,0) + ��(0,1,0,1)	
Por lo que S� = {(1,1, 0,0), (0,0,1,0), (0,1,0,1)} es un sistema generador del subespacio 
vectorial g, véase si es un sistema libre 
 "(1,1, 0,0) + #(0,0,1,0) + �(0,1,0,1) = (0,0,0,0) ⇒ " = # = � = 0 ⇒ S�	es un sistema libre ⇒ S� 	es una base del subespacio vectorial g. 
 
b) ∀�� ∈ ?⋂ g	 ⇒ 	 �� ∈ ? ∧ �� ∈ g, es decir, un elemento perteneciente a la intersección debe 
cumplir las ecuaciones implícitas de ambos subespacios 
( �" + �# = 0		�� − 2�� = 0�" −	 	�# + �� = 0� ⇒ 	 (
�# = −	�"	�� = 2���� = −2�" � 	⇒ 	 (
�# = −	�"	�� = −4�"�� = −2�" � 		∀�" ∈ ℝ 
Por tanto, ∀�� ∈ ?⋂ g	 ⇒ �� = (�", −�", −4�", −2�") ⇒ S�⋂ �			 = {(1,−1,−4,−2)} es un 
sistema generador del subespacio intersección y dado que solo contiene un vector no nulo, es un 
sistema libre, es decir, es una base del subespacio vectorial ?⋂ g. 	
c) ̂ iI(? + g) = ^iI ? + ^iIg − ^iI(?⋂ g) = 2 + 3 − 1 = 4 
� ? + g⊆ℝ�^iI(? + g) = ^iI ℝ�	?	⋂	g ≠ r0.�s � ⇒ ? + g = ℝ� 
En este caso, aunque la suma de los dos subespacios vectoriales es el espacio vectorial ℝ�, la 
suma no es directa porque ?⋂ g ≠ r0.�s.