Deposito Algebra lineal (41)

Vista previa del material en texto

121 Espacio vectorial 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se definen los vectores del sistema $	y se calculan los valores del parámetro real % para los 
cuales el sistema $ es libre, planteando la condición de dependencia o independencia lineal 
 
 
 
De la solución del sistema de ecuaciones se deduce que para % = 0 o % = 1 o 	% = −3/2 los 
vectores son linealmente dependientes. Por tanto, ∀% ∈ ℝ− �0,1,−3/2� el sistema $ es libre. 
Véase otra forma de calcular el valor de % utilizando el concepto de rango de una matriz 
 
 
Cuando % = 0 o % = 1 o 	% = −3/2, el rango de la matriz formada por los vectores !�, "� y #!!� 
es menor que tres ya que su determinante es nulo, es decir, el sistema $ es ligado. Entonces, si 
% ∈ ℝ − �0,1,−3/2�, el sistema $ es libre. 
 
b) Basta con que el sistema $ sea libre para que sea una base de ℝ�, puesto que es un sistema de 
3 vectores en un espacio vectorial de dimensión 3. Por lo que $ sí es una base de ℝ� para los 
valores de % calculados en el apartado anterior. 
 
122 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
A continuación se considera que el parámetro real % toma el valor −1 y se calculan las 
coordenadas del vector �� = �−2,2,2� en la base $ 
 
 
 
Las coordenadas del vector �� = �−2,2,2� en la base $ son ��' = �−2,−2,0�	'. 
 
 
M4. Sea ( = �"��, "��, "��� una base de ℝ�, siendo "�� = �1,0,1�, "�� = �−2,0,−1� y "�� =
�2,−1,1�, y sea el vector "� = 3"�� − 2"�� − "��. Sea S un subespacio vectorial de ℝ� cuya base 
es ) = � !��, !���, donde !�� = �0,1, −1� y !�� = �1,0,1�. 
a) Hallar las coordenadas del vector "� en la base canónica de ℝ�. 
b) Indicar si el vector "� pertenece al subespacio S y en caso afirmativo, calcular sus coordenadas 
respecto de la base ). 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se definen los vectores de los sistemas ( y ) 
 
Las coordenadas del vector "� en la base canónica son 
 
Es decir, "�* = �5,1,4�*. 
 
b) Se calculan las ecuaciones paramétricas del subespacio - a partir de los vectores de su base 
 
123 Espacio vectorial 
 
Para que el vector "� pertenezca al subespacio - debe verificar sus ecuaciones paramétricas 
 
Como el vector "� satisface dichas ecuaciones, pertenece al subespacio vectorial -. A 
continuación se calculan sus coordenadas en la base ) 
 
 
Las coordenadas del vector "� en la base ) son "�/ = �1,5�/. 
 
 
M5. Sea ℙ���� el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos con 
1��� = 2 + 3� + 4�� donde 2, 3, 4 ∈ ℝ. 
a) Dado el polinomio 1���� = 3, demostrar que el sistema de vectores 
( = �1����, 5 1����6�,∬�1����6��6�� es una base de ℙ����, considerando la constante de 
integración nula. 
b) Hallar las coordenadas del vector −1+ 3� + 2�� en la base del apartado anterior. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) En la resolución de este problema se consideran los polinomios como vectores cuyas 
coordenadas son las referidas a la base canónica de ℙ����, 8 = �1, �, ���. Es decir, el 
polinomio 1��� = 2 + 3� + 4�� se expresa como �2, 3, 4�*. 
Se calculan los vectores del sistema ( = �1����, 5 1����6�,∬�1����6��6��