Deposito Algebra lineal (42)

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124 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
 
 
 
 
Para demostrar que ( = 93,3�, �� �
�: es una base de ℙ����, basta comprobar que es libre, ya que 
si lo es, se trata de un sistema formado por 3 vectores linealmente independientes en un espacio 
vectorial de dimensión 3, y por tanto, de una base 
 
Por ello, ( es una base de ℙ����. 
 
b) Aplicando la definición de coordenadas de un vector en una base 
 
 
 
125 Espacio vectorial 
Entonces las coordenadas del polinomio −1 + 3� + 2�� en la base ( = 93,3�, �� �
�: son 
;− �� , 1,
�
�<=. 
 
 
M6. Sea el espacio vectorial ℝ� y sean ( = �2��, 2��, 2��, 2��� y ) = >3!��, 3!��, 3!��, 3!��? dos bases del 
mismo donde 2�� = 3!�� − 3!��, 2�� = 23!��, 2�� = 3!�� + 23!�� y 2�� = 3!�� − 3!��. 
a) Calcular las coordenadas del vector �� en la base ) sabiendo que sus coordenadas en la base ( 
son ��= = �1,0,−1,−1�=. 
b) Calcular las coordenadas del vector 
� en la base ( sabiendo que sus coordenadas en la base ) 
son 
�/ = �1,1,0,−1�/. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se calculan las coordenadas del vector �� en la base ) mediante la igualdad 
��/ =	 �2��, 2��, 2��, 2��	�/ ∙ ��= 
para lo cual se obtiene la matriz del cambio de base formada por las coordenadas de los vectores 
de la base	( expresadas en la base ) 
 
 
 
Las coordenadas del vector �� en la base ) son ��/ = �0,−2,1,2�/. 
 
b) Se calculan las coordenadas del vector 
� en la base ( aplicando la igualdad 
 
126 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
�/ =	 �2��, 2��, 2��, 2��	�/ ∙ 
�= 
 
 
Las coordenadas del vector 
� en la base ( son 
�= = ;�� ,
A
� , −
�
� ,
A
�<=. 
 
 
M7. Sea el sistema de matrices ) = 9;1 −10 			0< , ;
			1 0
−1 0< , ;
0 1
0 0< , ;
1 0
0 1<:. 
a) Demostrar que ) es una base de B��ℝ�. 
b) Sea (� = ;2 		43 −2	< en la base ), calcular las coordenadas de la matriz (� en la base 
canónica. 
c) Sea (� = ;3 −12 			2< en la base canónica, calcular las coordenadas de la matriz (� en la base 
). 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Dado que 6C%	B��ℝ� = 4, y que ) es un sistema formado por 4 elementos de 	B��ℝ�,	basta 
comprobar que )	es un sistema libre para demostrar que es una base de B��ℝ� 
 
 
Por tanto ) es una base de B��ℝ�.