Deposito Algebra lineal (45)

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133 Aplicación lineal 
4 APLICACIÓN LINEAL 
4.1 Concepto de aplicación lineal y propiedades 
Definición: Sean ���,+�, ��,+,·�,∘
 y ���,+�, ��,+,·�,∘
 dos espacios vectoriales definidos 
sobre el cuerpo � y sea una aplicación �: 
�: � → 		�							��� → ������ 
La aplicación � es lineal si cumple las siguientes condiciones: 
- ����� + ��� = ������ + �����, ∀���, �� ∈ �		 
- ��� ∘ ���� = � ∘ ������,				∀��� ∈ �, ∀� ∈ �		 
Teorema: Sean ���,+�, ��,+,·�,∘
 y ���,+�, ��,+,·�,∘
 dos espacios vectoriales definidos 
sobre el cuerpo � y sea � una aplicación de � en �. La aplicación � es lineal si verifica que: 
��� ∘ ��� + � ∘ ��� = � ∘ ������ + � ∘ �����, ∀���, �� ∈ �, ∀�, � ∈ �			 
4.2 Clasificación de una aplicación lineal 
Dada una aplicación �: � → 		�: 
- � es inyectiva si a cada imagen le corresponde una única anti-imagen, es decir, si no 
existen dos o más elementos con la misma imagen: 
 ���� ≠ ���� ⇒ ������� ≠ ������� 
o lo que es lo mismo si ������� = ������� ⇒ ���� = ���� 
- � es sobreyectiva o suprayectiva si todos los elementos del conjunto final tienen al 
menos una anti-imagen: 
∀���� ∈ �	∃��� ∈ �: ������ = ���� 
- � es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. Es decir, si todos los 
elementos del conjunto final tienen una única anti-imagen: 
∀���� ∈ �	∃! ��� ∈ �: ������ = ���� 
 
 
134 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Las aplicaciones lineales también se denominan homomorfismos entre espacios vectoriales. 
- Si � ≠ �: 
o Si la aplicación lineal � es sobreyectiva, se denomina epimorfismo. 
o Si la aplicación lineal � es inyectiva, se denomina monomorfismo. 
o Si la aplicación lineal � es biyectiva, se denomina isomorfismo. 
- Si � = �: 
o Toda aplicación lineal � se denomina endomorfismo. 
o Si un endomorfismo � es biyectivo, se denomina automorfismo. 
4.3 Propiedades de las aplicaciones lineales 
Dada la aplicación lineal �: � → 		�, se cumplen las siguientes propiedades: 
- ��0��!� = 0��" ,	siendo 0��! 	el elemento neutro de � y 0��" el elemento neutro de � respecto a 
la suma. 
- ∀��� ∈ �, ��−���� = −������. 
- Si $es un subespacio vectorial de �, su imagen, ��$�, es un subespacio vectorial de �. 
- Si ��$� es un subespacio vectorial de �, $ es un subespacio vectorial de �. 
- Si el sistema de vectores % = &����, ����, … , ���() es ligado, el sistema de vectores ��%� =&�������, �������,… , �����(�) también es ligado. 
- Si el sistema de vectores ��%� = &�������, �������,… , �����(�) es libre, el sistema de 
vectores % = &����, ����, … , ���() también es libre. 
4.4 Imagen de una aplicación lineal 
Definición: Sea �: � → 		� una aplicación lineal. Se llama imagen de � al subconjunto formado 
por las imágenes de los vectores de �, y se denota por *+��� 
*+��� = &������:	��� ∈ �) ⊆ � 
Teorema: Sean � un espacio vectorial de dimensión - y . = /����, ����, … , ���01 una base del 
mismo. Entonces, *+��� es un subespacio de � tal que *+��� = 〈�������, �������,… , �����0�〉. 
 
 
135 Aplicación lineal 
4.5 Matriz de una aplicación lineal 
Definición: Sea �: � → 		� una aplicación lineal siendo � y � dos espacios vectoriales de 
dimensión - y 4 respectivamente. Sea . = /����, ����, … , ���01 una base de � y sea 5 =&���, ���, … , ��() una base de �. 
La matriz de la aplicación lineal � respecto a las bases	. y 5 es la matriz formada por las 
coordenadas de los vectores del sistema ��.� = /�������, �������,… , �����0�1 respecto a la base 5. 
Esta matriz se representa mediante ��������, �������,… , �����0�
6,7. 
Sean las imágenes de los vectores de la base . respecto a la base 5: 
������� = 8������⋮�(�:7 , ������� = 8
������⋮�(�:7 , … , �����0� = ;
<��0��0⋮�(0=
>
7
 
En este caso, la matriz de la aplicación lineal � respecto a las bases	. y 5 es: 
��������, �������, … , �����0�
6,7 = ;<
��� ��� ⋯ ��0��� ��� ⋯ ��0⋮�(� ⋮�(� ⋱⋯ ⋮�(0=
>
6,7
≡ �6,7 
Como . es una base de �, ∀��� ∈ �, ∃��, ��, … , �0 ∈ K:		��� = ������ + ������ +⋯+ �0���0. 
Entonces, se puede calcular su imagen mediante la matriz de la aplicación lineal � respecto a las 
bases	. y 5 de la siguiente manera: 
������ = ��������� + ��������� + ⋯+ �0�����0� 
ya que � es lineal. Sustituyendo los valores de ��������, �������, … , �����0�
6,7 en la expresión 
anterior se obtiene el valor de la imagen ������ en la base 5: 
������7 = ��������� + ��������� +⋯+ �0�����0� = ��8������⋮�(�:7 + ��8
������⋮�(�:7 +⋯+ �0;
<��0��0⋮�(0=
>
7
 
Es decir, 
������7 ≡ 8C�C�⋮C(:D = ;
<��� ��� ⋯ ��0��� ��� ⋯ ��0⋮�(� ⋮�(� ⋱⋯ ⋮�(0=
>
6,7
8����⋮�0:E ⇒ �C��7 = �6,7 · �����6