Deposito Algebra lineal (46)

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136 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
4.5.1 Rango de una aplicación lineal 
Sea �: � → 	� una aplicación lineal, siendo � y � dos espacios vectoriales de dimensión - y 4 
respectivamente y sea . = /����, ����, … , ���01 una base de �. Ya que *+��� = 〈�������, �������,… , �����0�〉, basta escoger los vectores linealmente independientes del 
sistema generador anterior para obtener una base de *+���. 
Por otro lado, recordar que las columnas de la matriz �6,7 son las coordenadas de los vectores /�������, �������,… , �����0�1 en la base 5. Debido a que el rango de esta matriz es el número de 
columnas linealmente independientes, se tiene: 
FG��6,7
 = HI+�*+���
 
Con lo que el rango de la aplicación lineal � coincide con el rango de la matriz �6,7. 
4.6 Núcleo de una aplicación lineal 
Definición: Sea �: � → � una aplicación lineal siendo � y � dos espacios vectoriales de 
dimensión - y 4 respectivamente. El núcleo de � es el subconjunto de � formado por los 
vectores cuya imagen es el vector 0��" ∈ � y se representa por �JF���: 
�JF��� = /��� ∈ �: ������ = 0��"1 
Propiedades: 
- El núcleo de � es un subespacio vectorial de �. 
- Se verifica la siguiente igualdad: 
HI+��� = HI+��JF���
 + HI+�*+���
 ⇔ HI+��� = HI+��JF���
 + FG��6,7
 
4.7 Caracterización de las aplicaciones lineales 
Sea una aplicación lineal �: � → �: 
- Se dice que � es inyectiva si su núcleo es únicamente el vector nulo: 
� es inyectiva ⇔ �JF��� = /0��!1 
 o lo que es lo mismo: 
� es inyectiva ⇔ HI+��� = HI+�*+���
 
- Se dice que � es sobreyectiva si su imagen coincide con el espacio vectorial destino �: 
� es sobreyectiva ⇔ *+��� = � 
 
 
137 Aplicación lineal 
- Se dice que �	es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente: 
� es biyectiva⇔ M *+��� = ��JF��� = /0��!1N 
4.8 Suma de aplicaciones lineales 
Definición: Sean �: � → 	� y G: � → 	� dos aplicaciones lineales y . = /����, ����, … , ���01 y 5 = &���, ���, … , ��() bases de � y de � respectivamente. La suma de las aplicaciones lineales � y G es otra aplicación lineal � + G: � → 	� definida por: 
∀��� ∈ �, �� + G������ = ������ + G����� 
La matriz de la aplicación lineal suma � + G	 es la suma de las matrices de cada una de las 
aplicaciones lineales: 
�� + G�6,7 = �6,7 + G6,7 
siendo �6,7 y G6,7 las matrices de las aplicaciones � y G respecto a las bases . y 5. 
4.9 Producto de una aplicación lineal por un escalar 
Definición: Sea �: � → � una aplicación lineal y sean . = /����, ����, … , ���01 y 5 = &���, ���, … , ��() 
bases de � y de � respectivamente. Dado � ∈ �, el producto del escalar � por la aplicación 
lineal � es otra aplicación lineal �� ∘ ��: � → 		� definida por: 
∀��� ∈ �, �� ∘ ������� = ������� 
La matriz asociada a la aplicación lineal anterior es: 
����6,7 = ����6,7 
4.10 Composición de aplicaciones lineales 
Sean ���,+�, ��,+,·�,∘
, ���,+�, ��,+,·�,∘
 y ��O,+�, ��,+,·�,∘
 tres espacios vectoriales 
definidos sobre un mismo cuerpo �, de dimensión -, 4 y P respectivamente y sean las 
aplicaciones �: � → � y G: � → O. La composición de las aplicaciones lineales � y G es otra 
aplicación lineal G ∘ �: � → O definida de la siguiente manera: 
													�G ∘ ��: � Q→ 				�		 R→ 		O																																																																			��� 	→ ������ → �G ∘ ������� = GS������T 
 
 
138 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Sean . = /����, ����, … , ���01 una base de �, 5 = &���, ���, … , ��() una base de � y U = /V��, V��, … , V�W1 
una base de O. Entonces, la matriz de la aplicación lineal G ∘ �, es el producto de las respectivas 
matrices de las aplicaciones lineales: 
�G ∘ ��6,XYZZ[ZZ\∈]^_` = �G�7,XY[\∈]^_a · ���6,7Y[\∈]a_` 
siendo: 
- �6,7 la matriz de la aplicación lineal � respecto a las bases . y 5. 
- G7,X la matriz de la aplicación lineal G respecto a las bases 5 y U.