Deposito Algebra lineal (47)

Vista previa del material en texto

139 Aplicación lineal 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
P1. Indicar si �:ℝ� → ℝ� definida por ���, 	, 
� = �2� + 	, � − 
,−� + 2	 + 
� es una 
aplicación lineal. 
 
RESOLUCIÓN 
Para que � sea una aplicación lineal se tiene que verificar que 
����� + �	�� = ������ + ���	��	∀	��, 	� ∈ ℝ� ∧ ∀�, � ∈ ℝ 
o lo que es lo mismo 
�		���� + 	�� = ����� + ��	��	������ = ������	 � ,				∀	��, 	� ∈ ℝ� ∧ ∀� ∈ ℝ	 
Se comprueba si � es una aplicación lineal analizando si se satisfacen estas dos últimas 
igualdades. 
Sean los vectores �� = ���, ��, ��� ∈ ℝ� e 	� = �	�, 	�, 	�� ∈ ℝ�, entonces el vector �� + 	� 
tiene por coordenadas �� + 	� = ���, ��, ��� + �	�, 	�, 	�� = ��� + 	�, �� + 	�, �� + 	��. 
Se calculan los transformados de estos vectores respecto a �: 
����� = �2�� + ��, �� − ��, −�� + 2�� + ���	��	�� = �2	� + 	�, 	� − 	�, −	� + 2	� + 	��	���� + 	�� = �2��� + 	�� + ��� + 	��, ��� + 	�� − ��� + 	��, −��� + 	�� + 2��� + 	��+																			+��� + 	���																			= �2�� + 2	� + �� + 	�, �� + 	� − �� − 	�, −�� − 	� + 2�� + 2	� + �� + 	��		���	
Por otro lado se obtiene la suma ����� + ��	�� 
����� + ��	�� = �2�� + ��, �� − ��, −�� + 2�� + ��� + �2	� + 	�, 	� − 	�, −	� + 2	� + 	�� 																									= �2�� + �� + 2	� + 	�, �� − 	�� + 	� − 	�, −�� + 2��+�� − 	� + 2	� + 	��		��� 
Los vectores (1) y (2) coinciden, por lo que se satisface la primera condición, ���� + 	�� =����� + ��	��. Véase si se satisface la segunda condición. 
Se forma el vector ��� = ����, ��, ��� = ����, ���, ���� y se calcula su imagen 
 
 
140 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
������ = �2��� + ���, ��� − ���, −��� + 2��� + ����		��� 
Se calcula ������ 
������ = ��2�� + ��, �� − ��, −�� + 2�� + ��� 													= �2��� + ���, ��� − ���, −��� + 2��� + ����		��� 
Los vectores (3) y (4) son idénticos, por lo que se satisface también la segunda condición, ������ = ������, y en consecuencia � es una aplicación lineal. 
 
 
P2. Dada la aplicación lineal �:ℝ� → ℝ� definida por ���, 	, 
� = �� − 2	 + 2
, � − 
� 
a) Calcular el núcleo de la aplicación. 
b) Calcular una base de �����	y su dimensión. 
c) Clasificar la aplicación lineal. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Por la definición de núcleo de una aplicación se sabe que 
∀�� ∈ �� ��� ⇔ ����� = 0#� 
Es decir, �� = ��, 	, 
� ∈ �� ��� ⇔ ����� = ���, 	, 
� = �� − 2	 + 2
, � − 
� = �0,0�. Por 
tanto, para calcular el núcleo de la aplicación lineal basta igualar término a término los dos 
vectores anteriores y resolver el sistema resultante 
$� − 2	 + 2
 = 0� − 
 = 0 � ⇒ &� = 23	� = 
 � 
El núcleo de la aplicación lineal es �� ��� = $(��	, 	, ��	) |				 ∈ 	ℝ+. 
 
b) Sea , = -���, ���, ���. la base canónica de ℝ�. Por la definición de subespacio imagen se tiene 
que ����� = 〈������, ������, ������〉, por ello se calcula la imagen de los vectores de la base 
canónica 
	1 ������ = ��1,0,0� = �1,1�		������ = ��0,1,0� = �−2,0�		������ = ��0,0,1� = �2,−1�� ⇒ ����� = 〈�1,1�, �−2,0�, �2, −1�〉 
Para obtener una base del subespacio imagen basta seleccionar los vectores linealmente 
independientes del sistema generador anterior 
 
 
141 Aplicación lineal 
31 −21 			03 = 2 ≠ 0 ⇒ 5 (1 −2 			21 		0 −1) = 2 
Es decir, 6 = -�1,1�, �−2,0�. es una base de ����� siendo 78�9�����: = 2. Además, 78�9�����: = 78�ℝ�	, luego se puede concluir que ����� = ℝ�. 
 
c) Se analizan los siguientes aspectos 
- ; = ℝ� ≠ F = ℝ�		 
- 78�9�� ���: = 1 ≠ 0 ⇒ � no es inyectiva 
- 78�������	� = 2 = 78�ℝ�	 ⇒ � es suprayectiva 
Por todo ello se deduce que � es un epiformismo. 
 
 
P3. Dada la aplicación lineal �: ℙ���� → ℙ���� definida por �9>���: = ?�>��� − >�1�,∀? ≠ 0. 
a) Obtener la matriz de la aplicación considerando la base canónica. 
b) Calcular una base del núcleo y su dimensión. 
c) Calcular una base de �����. 
d) Clasificar la aplicación lineal. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se considera la base canónica ,� = -1, �, ��. de ℙ���� y se calculan las coordenadas de las 
imágenes de cada uno de los vectores de	,� en la base canónica 		��1� = ?� − 1 = �?� − 1,0,0�@A	���� = ?�� − 1 = �−1, ?�, 0�@A				����� = ?��� − 1 = �−1,0, ?��@A 
La matriz respecto a la base canónica es la matriz que se obtiene al colocar por columnas estas 
imágenes 
�@A,@A = B?� − 1 −1 −10 				?� 		00 		0 				?�C@A,@A 
 
b) Utilizando la definición de núcleo, >��� ∈ �� ��� ⇔ �9>���: = 0 = 0�� + 0� + 0. 
Sea >��� un polinomio cualquiera del espacio vectorial ℙ���� ∀>��� ∈ ℙ�:	>��� = D�� + E� + F