Deposito Algebra lineal (49)

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145 Aplicación lineal 
- ; = F = Q��ℝ� 
- 78�9�� ���: = 1 ≠ 0 ⇒ �	no es inyectiva 
- 78�������	� = 3 ≠ 4= 78��Q��ℝ�� ⇒	 	� no es suprayectiva 
 
 
P5. Sea la aplicación lineal �:ℝ� → ℝ� definida por ���, 	, 
, V� = �2� + 	 − V, � + 
 +V,−� − 	 + 
 + 2V� 
a) Calcular el transformado del vector X� = �0,4,−1,3� respecto a � ¿Es posible que X� ∈�� ���? 
b) Hallar un vector que se transforme en el vector Y##� = �1,4,3� respecto a �. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se calcula el transformado del vector X� 
��X�� = ��0,4,−1,3� = �4 − 3,−1 + 3,−4 + �−1� + 2 ∙ 3� = �1,2,1� 
El vector X� no pertenece al núcleo de la aplicación ya que no se transforma en el vector nulo. 
 
b) Se trata de hallar 	Z#� = ��, 	, 
, V� ∈ ℝ� tal que ��Z#�� = Y##�. 
Se comprueba si existe algún vector de ℝ� cuya imagen sea el vector �1,4,3� resolviendo el 
sistema de ecuaciones 
���, 	, 
, V� = �1,4,3� ⇒ G 2� + 	 − V = 1� + 
 + V = 4−� − 	 + 
 + 2V = 3� 
Para resolver dicho sistema se estudia el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la 
matriz ampliada 
U = B			2 			1 0 −1			1 			0 1 			1−1 −1 1 			2C 9U[E#�: = B
			2 			1 0 −1			1 			0 1 			1−1 −1 1 			2		\		
143C 
En ambas matrices se cumple que ]� = ]� − ]�, con lo que 5�U� = 	 5�U|E) ≤ 2. Además 
32 11 03 ≠ 0 ⇒ 5(U) = 5(U|E) = 2. 
Como 5(U) = 2 = 5(U|E) < nº incógnitas = 4	 ⇒ El sistema es compatible indeterminado. 
Se puede obtener un sistema de ecuaciones equivalente al anterior de la siguiente manera 
G 2� + 	 − V = 1� + 
 + V = 4−� − 	 + 
 + 2V = 3� ⇔ $2� + 	 = 1 + V� = 4 − 
 − V � 
 
 
146 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Si ̀ = 
 y a = V se tiene que 
�2� + 	 = 1 + a� = 4 − ` − a � ⇒ � = 4 − ` − a,				 = −7 + 2` + 3a, 
 = `, V = a 
Basta dar un valor a los parámetros ` y a para obtener una solución de las infinitas posibles 
soluciones. Por ejemplo, si se toma ` = 0 y a = 0, entonces la solución del sistema es � = 4, 	 = −7, 
 = 0	y		V = 0. Es decir, uno de los vectores que se transforma en el vector Y##� =�1,4,3� es el vector Z#� = �4,−7,0,0�. 
 
 
P6. Sea la aplicación lineal �:Q��ℝ� → Q��ℝ� definida por 
� BD E F7 � �5 ℎ 8 C = S
0 E + 7 F + 57 − E 0 � + ℎ5 − F ℎ − � 0 T 
a) Calcular el transformado de U = B			1 2 0−1 1 2			4 0 1C	respecto a �. 
b) Calcular la anti-imagen de 6 = B			0 3 5−3 0 1			3 1 0C respecto a �. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se calcula la imagen de la matriz U	respecto a � 
��U� = � B 		1 2 0−1 1 2		4 0 1C = B
		0 		1 4−3 			0 2		4 −2 0C 
 
b) Se trata de encontrar una matriz BD E F7 � �5 ℎ 8 C cuya imagen sea la matriz 6, para lo que basta 
resolver el sistema 
� BD E F7 � �5 ℎ 8C = 6 ⇒ S
0 E + 7 F + 57 − E 0 � + ℎ5 − F ℎ − � 0 T = B
			0 3 5−3 0 1			3 1 0C 
Igualando término a término ambas matrices 
fgh
gi E + 7 = 37 − E = −3F + 5 = 55 − F = 3� + ℎ = 1ℎ − � = 1
� ⇒ 7 = 0, E = 3, 5 = 4, F = 1, ℎ = 1, � = 0 
 
 
147 Aplicación lineal 
Por tanto cualquier matriz de la forma BD 3 10 � 04 1 8C ∀D, �, 8 ∈ ℝ es anti-imagen de la matriz 6, 
es decir, existen infinitas matrices cuya imagen respecto de la aplicación f es la matriz 6, por 
ejemplo una de ellas es B1 3 			10 10 			04 1 −10C. 
 
 
P7. Sea la aplicación lineal �: ℙ���� → ℙ���� definida por �9>���: = 2>j��� 
a) Determinar la matriz de la aplicación considerando las bases canónicas de ℙ���� y ℙ����. 
b) Determinar la matriz de la aplicación considerando la base canónica de ℙ���� y la base k = -�, � − 2	. de ℙ����. 
c) Determinar la matriz de la aplicación considerando la base l = -2,1 + 2�, � + ��	. de ℙ���� 
y la base canónica de ℙ����. 
d) Determinar la matriz de la aplicación considerando la base l = -2,2� + 1, � + ��	. de ℙ���� 
y la base k = -�, � − 2	. de ℙ����. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Se consideran la base canónica ,� = -1, �, ��. de ℙ���� y la base canónica ,� = -1, �	. de ℙ���� y se calculan las imágenes de los vectores de ,� en función de los vectores de ,� 
1 ��1� = 0		���� = 2		����� = 4�	� ⇒ 1
0 = 0 ∙ 1 + 0 ∙ � ⇒ 		��1� = �0,0�@m2 = 2 ∙ 1 + 0 ∙ � ⇒ 		���� = �2,0�@m4� = 0 ∙ 1 + 4 ∙ � ⇒ 	����� = �0,4�@m � 
Por tanto la matriz de � respecto de las bases canónicas es �@A,@m = (0 2 00 0 4)@A,@m 
 
b) Se consideran la base canónica ,� = -1, �, ��. de ℙ���� y la base k = -�, � − 2	. de ℙ���� y 
se calculan las imágenes de los vectores de ,� en función de los vectores de k 
1 ��1� = 0		���� = 2		����� = 4�	� ⇒ 1
0 = 0 ∙ � + 0 ∙ �� − 2� ⇒ 	��1� = �0,0�n2 = D ∙ � + E ∙ �� − 2� ⇒ 	D = 1, E = −1 ⇒ ���� = �1,−1�n4� = D ∙ � + E ∙ �� − 2� ⇒ 	D = 4, E = 0 ⇒ ����� = �4,0�n � 
Entonces la matriz de � respecto de las bases ,� y k es �@A,n = (0 		1 40 −1 0)@A,n 
 
c) Se consideran la base		l = -2,1 + 2�, � + ��	. de ℙ���� y la base canónica ,� = -1, �	. de ℙ���� y se calculan las imágenes de los vectores de l en función de los vectores de ,�