Deposito Algebra lineal (50)

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148 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
1 ��2� = 0		��1 + 2�� = 4		��� + ��� = 2 + 4�	� ⇒ 1
0 = 0 ∙ 1 + 0 ∙ � ⇒ 	��2� = �0,0�@m4 = 4 ∙ 1 + 0 ∙ � ⇒ 	��1 + 2�� = �4,0�@m2 + 4� = 2 ∙ 1 + 4 ∙ � ⇒ 	��� + ��� = �2,4�@m � 
En este caso la matriz de � respecto de las bases l y ,� es �o,@m = (0 4 20 0 4)o,@m 
 
d) Se consideran la base		l = -2,1 + 2�, � + ��	. de ℙ���� y la base k = -�, � − 2	. de ℙ���� 
y se calculan las imágenes de los vectores de l en función de los vectores de k 
 1 ��2� = 0		��1 + 2�� = 4		��� + ��� = 2 + 4�	� ⇒			
1 	0 = 0 ∙ � + 0 ∙ �� − 2� ⇒ 	��2� = �0,0�n4 = D ∙ � + E ∙ �� − 2� ⇒ 	D = 2, E = −2 ⇒ ��1 + 2�� = �2,−2�n2 + 4� = D ∙ � + E ∙ �� − 2� ⇒ 	D = 5, E = −1 ⇒ ��� + ��� = �5,−1�n � 
Por tanto la matriz de � respecto de las bases l y k es �o,n = (0 			2 			50 −2 −1)o,n 
 
 
P8. Sea la aplicación lineal �:ℝ� → ℝ� definida por ���, 	� = �� − 	, 0, 	 − �� 
a) Calcular la matriz de la aplicación respecto de las bases canónicas de ℝ� y ℝ� y a partir de 
esa matriz determinar �� ���. 
b) Calcular la matriz de la aplicación respecto de las bases U = -�1,−1�, �2,1�. de ℝ� y 6 = -�0,1,1�, �2,1,0�, �−1,0,1�.	de ℝ�	y a partir de esa matriz determinar �� ���. 
c) Comprobar que los núcleos calculados en los dos apartados anteriores son equivalentes. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Sean las bases canónicas ,� = -�1,0�, �0,1�. y ,� = -�1,0,0�, �0,1,0�, �0,0,1�. de ℝ� y ℝ� 
respectivamente. Se hallan las imágenes de los vectores de la base ,� en función de los vectores 
de la base ,� 
���1,0� = �1,0,−1���0,1� = �−1,0,1� �	
Entonces, la matriz de la aplicación � respecto a las bases canonicas es 
	�@A,@p = B			1 −1			0 			0−1 			1C@A,@p	
A partir de esta matriz se determina el núcleo de la aplicación 
 
 
149 Aplicación lineal 
�� ��� = -�� ∈ 	ℝ�	|	����� = �0,0,0�. 
Considerando el vector genérico �� = ���, ��� ∈ 	ℝ�	, 
����� = �0,0,0� ⇒ B			1 −1			0 			0−1 			1C (����) = q
000r ⇒ � �� − �� = 0−�� + �� = 0�		⇒	�� = ��	
Por tanto, �� ��� = -���, ��� = ���1,1�. siendo 6 = -�1,1�.	una base del núcleo y su 
dimensión 1. 
 
b) Se calculan las imágenes de los vectores de la base U = -�1,−1�, �2,1�. y se expresan como 
combinación lineal de los vectores de la base 6 
��1,−1� = �2,0,−2�@p ⇒ �2,0,−2� = D�0,1,1� + E�2,1,0� + F(−1,0,1� 
 ⇒ D = E = 0, F = −2 ⇒ ��1,−1� = �0,0,−2�s ��2,1� = �1,0,−1�@p ⇒ �1,0,−1� = D�0,1,1� + E�2,1,0� + F(−1,0,1� 																																									⇒ D = E = 0, F = −1⇒��2,1� = �0,0,−1�s 
Entonces, la matriz de la aplicación � respecto a las bases U y 6	es 
	�t,s = B			0 			0			0 			0−2 −1Ct,s 
Utilizando esta matriz se calcula el núcleo de � 
�� ��� = -
� ∈ 	ℝ�	|	��
�� = �0,0,0�.	
Sea	
� = �
�, 
�� un vector genérico de ℝ�	 
��
�� = �0,0,0� ⇒ B			0 			0			0 			0−2 −1C(
�
�) = q
000r ⇒ −2
� − 
� = 0		⇒	
� = −2
�	
Por tanto �� ��� = -�
�, −2
�� = 
��1,−2�. siendo 6′ = -�1,−2�. una base del mismo y su 
dimensión 1. 
 
c) Se va a comprobar que los núcleos calculados en los apartados a) y b) son equivalentes, 
aunque a simple vista parezca que son distintos. Esto es debido a que en el apartado a) el núcleo 
está expresado en la base canónica de ℝ� y en el apartado b) está expresado en la base U de ℝ�. 
Considérese el vector �1, −2� de la base de �� ��� calculado en el apartado b). Este vector está 
expresado en la base U. Realizando el cambio de base a la base canónica se obtiene lo siguiente 
�1, −2�t = 1 ∙ �1,−1� + �−2� ∙ �2,1� = �−3,−3�@A	
 
 
150 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
El vector �−3,−3� es proporcional al vector �1,1�, que es el vector obtenido como base del 
núcleo en el apartado a). Entonces los subespacios engendrados por ellos coinciden, es decir, los 
núcleos obtenidos en los dos apartados anteriores son iguales. 
 
 
P9. Sean las aplicaciones lineales �:ℝ� → ℝ�, 5:ℝ� → ℝ�	y	ℎ:ℝ� → ℝ�	 definidas por 	���, 	, 
� = �2� + 	, � + 
, 2
, � + 2	�,									5��, 	, 
, V� = �� + 	 + 
, � + 2
, 	 + 2V� y ℎ��, 	, 
� = ��, 	, 	 − 
�. 
 Calcular cuando sea posible la matriz y las ecuaciones implícitas de las siguientes aplicaciones 
lineales respecto de las bases canónicas: 
a) �v5 
b) �v5vℎ 
c)	�vℎv5 
 
RESOLUCIÓN 
a) �v5:ℝ� w→ℝ� x→ℝ�	 
Para calcular la matriz de la aplicación composición �v5 basta multiplicar las matrices de las 
aplicaciones �	y 5. Por tanto se calcula la matriz de cada una de las aplicaciones y la matriz de 
la composición 
1��1,0,0� = �2,1,0,1���0,1,0� = �1,0,0,2���0,0,1� = �0,1,2,0�� ⇒ �@p,@y = S
2 1 01 0 101 02 20T@p,@y 
				fh
i5�1,0,0,0� = �1,1,0�5�0,1,0,0� = �1,0,1�5�0,0,1,0� = �1,2,0�5�0,0,0,1� = �0,0,2�
� ⇒ 5@y,@p = B1 1 1 01 0 2 00 1 0 2C@y,@p 
�v5@,@ = �@,@ ∙ 5@,@ = S2 1 01 0 101 02 20TB
1 1 1 01 0 2 00 1 0 2C = S
3 2 4 01 2 1 203 21 0 45 0T@y,@y 
Para calcular las ecuaciones de la aplicación lineal se multiplica la matriz por un vector genérico 
de ℝ� 
S	�	�	�	�T = S
3 2 4 01 2 1 203 21 0 45 0TS
��������T ⇒ S
	�	�	�	�T = z
3�� + 2�� + 4���� + 2�� + �� + 2��2�� + 4��3�� + �� + 5�� {