Deposito Algebra lineal (51)

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151 Aplicación lineal 
Por tanto las ecuaciones de la aplicación �v5 son 
�v5���, ��, ��, ��� = �3�� + 2�� + 4��, �� + 2�� + �� + 2��, 2�� + 4��, 																																									3�� + �� + 5��� 
Otra forma de resolver este apartado es utilizar la definición de aplicación lineal 
Sea el vector �� = ���, ��, ��, ���, entonces ��v5����� = ��5����� = ���� + �� + ��, �� + 2��, �� + 2��� ��v5����� 	= �2��� + �� + ��� + ��� + 2���, ��� + �� + ��� + ��� + 2���, 2��� + 2���, 																										��� + �� + ��� + 2��� + 2���� ��v5����� 	= �3�� + 2�� + 4��, �� + 2�� + �� + 2��, 2�� + 4��, 3�� + �� + 5��� 
 
b) No se puede realizar la composición dado que el espacio vectorial de origen de la aplicación 5 no coincide con el espacio vectorial de llegada de la aplicación ℎ. 
 
c)	�vℎv5 : ℝ� w→ℝ� |→ℝ� x→ℝ� 
Al igual que en el primer apartado, para obtener la matriz de la composición basta multiplicar 
las matrices de las tres aplicaciones del primer apartado se tiene 
�@p,@y = S
2 1 01 0 101 02 20T@p,@y
 			5@y,@p = B1 1 1 01 0 2 00 1 0 2C@y,@p 
A continuación se obtiene la matriz correspondiente a la aplicación ℎ 
1 ℎ(1,0,0) = (1,0,0)ℎ(0,1,0) = (0,1,1)			ℎ(0,0,1) = (0,0,−1)� ⇒ 		ℎ@p,@p = B
1 0 			00 1 			00 1 −1C@p,@p 
Entonces, procediendo de forma similar la matriz de la composición es: 
(�vℎv5)	@y,@y = �@p,@y ∙ }ℎ@p,@p ∙ 	5@y,@p~ = 	S
2 1 01 0 101 02 20T �B
1 0 			00 1 			00 1 −1CB
1 1 1 01 0 2 00 1 0 2C� 
 	= S2 1 01 0 101 02 20TB
1 			1 1 				01 			0 2 				01 −1 2 	−2C = S
3 		2 4 				02 		0 3 −223 −2			1 4 −45 			0T@y,@y
 
Para calcular las ecuaciones del sistema se multiplica la matriz por un vector genérico �� =(��, ��, ��, ��) de ℝ� 
 
 
152 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
S	�	�	�	�T = S
3 		2 4 				02 		0 3 −223 −2			1 4 −45 			0TS
��������T ⇒ S
	�	�	�	�T = z
3�� + 2�� + 4��2�� + 3�� − 2��2�� − 2�� + 4��−4��3�� + �� + 5�� { 
Entonces las ecuaciones de la aplicación �vℎv5 son 
��vℎv5����� = �3�� + 2�� + 4��, 2�� + 3�� − 2��, 2�� − 2�� + 4��−4��, 3�� + �� + 5��� 
 
 
P10. Hallar las ecuaciones de la aplicación lineal �:ℝ� → ℝ� sabiendo que ��2,0,1� = �4,1�, ��−1,1,0� = �−2,0� y ��1,1,2� = �2,2�. 
 
RESOLUCIÓN 
Se consideran la base canónica de ℝ�, ,� = -���, ���, ���. donde ��� = �1,0,0�, ��� = �0,1,0� y ��� = �0,0,1� y la base canónica de ℝ�, ,� = -��′�, ��′�., siendo ��′� = �1,0� y ��′� = �0,1�. El 
vector �2,0,1� se puede expresar como 2��� + ���. 
Aplicando las propiedades de las aplicaciones lineales 
��2,0,1� = �4,1� ⇒ ��2��� + ���� = 2������ + ������ = �4,1�@A 
Repitiendo el proceso para los vectores �−1,1,0� y �1,1,2� se obtiene 
��−1,1,0� = �−2,0� ⇒ ��−��� + ���� = −������ + ������ = �−2,0�@A ��1,1,2� = �2,2� ⇒ ����� + ��� + 2���� = ������ + ������ + 2������ = �2,2�@A 
Se forma un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas donde las incógnitas son las 
imágenes de los vectores de la base canónica de ℝ� expresados en la base canónica de ℝ�. 
1 2������ + ������ = �4,1�−������ + ������ = �−2,0������� + ������ + 2������ = �2,2�� 
Se resuelve el sistema y se obtiene que		������ = �2,0�, ������ = �0,0� y ������ = �0,1�. Una vez 
obtenidos, basta colocar estos vectores en columnas para obtener la matriz de la aplicación 
�@p,@A = (2 0 00 0 1)@p,@A 
A partir de esta matriz, se determinan las ecuaciones de la aplicación lineal � 
(	�	�) = (2 0 00 0 1)B������C 	⇒ �	� = 2��	� = �� � 	⇒ ����, ��, ��� = �2��, ��� 
 
 
153 Aplicación lineal 
 
P11. Hallar la matriz asociada a la aplicación lineal �:ℙ���� → ℙ���� considerando la base 6 = -2 + �, � − 1. en el espacio vectorial origen y la base canónica en el espacio vectorial 
destino sabiendo que ��4� + 2� = � − 2 y ��� − 4� = 2� + 1. 
 
RESOLUCIÓN 
Se expresa el vector 4� + 2 como combinación lineal de los vectores de la base 6 
4� + 2 = D�2 + �� + E�� − 1� ⇒ D = 2	y	E = 2	 ⇒ 4� + 2 = 2�2 + �� + 2�� − 1� 
Aplicando las propiedades de las aplicaciones lineales 
��4� + 2� = ��2�2 + �� + 2�� − 1�� = 2��2 + �� + 2��� − 1� = � − 2 
Se repite el proceso con el vector � − 4 
� − 4 = D�2 + �� + E�� − 1� ⇒ D = −1	y	E = 2	 ⇒ � − 4 = −�2 + �� + 2�� − 1� 
Por tanto ��� − 4� = ��−�2 + �� + 2�� − 1�� = −��2 + �� + 2��� − 1� = 2� + 1 
Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde las incógnitas son las 
imágenes de los vectores de la base 6 de ℙ���� expresados en la base canónica del mismo 
� 2��2 + �� + 2��� − 1� = � − 2	−��2 + �� + 2��� − 1� = 2� + 1� 
La solución del sistema es ��2 + �� = − �� � − 1 y ��� − 1� = �� � 
Estas imágenes ya están expresadas como combinación lineal de los vectores de la base 
canónica -1, �. del espacio vectorial de llegada ℙ����. Con lo que la matriz de � en las bases 
pedidas es 
�s,@ = � −1 0−1/3 5/6�s,@