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154 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones CUESTIONES RESUELTAS C1. Sean � un endomorfismo definido en ℝ�, 6 = -���, ���, ���. la base canónica de ℝ� y las imágenes ������ = Z#�, ������ = X�, ������ = Z#� + X�, siendo Z#� y X� linealmente independientes. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) � es inyectiva. b) � es sobreyectiva. RESOLUCIÓN a) Falso. � es inyectiva si y sólo si, �� ��� = -0#�.. Véase si se verifica esta igualdad �� ��� = -���, ��, ��� ∈ ℝ�: ����, ��, ��� = 0#�. Para cualquier ���, ��, ��� ∈ ℝ�, se cumple ���, ��, ��� = ����� + ����� + ����� Como la aplicación � es lineal ����, ��, ��� = �������� + �������� + �������� = ��Z#� + ��X� + ���Z#� + X�� = ��� + ���Z#� + + ���+���X� Para que ���, ��, ��� ∈ �� ���, ����, ��, ��� = 0#�. Se plantea esta última igualdad ����, ��, ��� = ��� + ���Z#� + ���+���X� = 0#� Dado que los vectores Z#� y X� son linealmente independientes y por tanto no nulos, se tiene que ��� + �� = 0��+�� = 0 � ⇒ �� = �� = −�� Por lo que los vectores del núcleo son de la forma �� ��� = -�−��, −��, ���: �� ∈ ℝ. ≠ -0#�. Y se concluye que la afirmación es falsa. b) Falso. � es sobreyectiva si y sólo si, 78�9�����: = 78� ℝ� = 3 En el caso particular del endomorfismo �:ℝ� → ℝ� las dimensiones verifican 78� ℝ� = 78�9�� ���: + 78�9�����: 155 Aplicación lineal Del apartado anterior se sabe que �� ��� = -�−��, −��, ���: �� ∈ ℝ. = 〈�−1,−1,1�〉, y por tanto 78��� ��� = 1. Sustituyendo este valor en la ecuación anterior 78� ℝ�������� = 78�9�� ���:����������� + 78�9�����: ⇒ 78�9�����: = 2 Por lo que la afirmación es falsa. C2. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Es posible definir una aplicación lineal inyectiva de la forma �:ℝ� → ℝ�. b) Es posible definir una aplicación lineal sobreyectiva de la forma �:ℝ� → ℝ�. c) Es posible definir una aplicación lineal inyectiva de la forma 5:ℝ� → ℝ�. d) Es posible definir una aplicación lineal sobreyectiva de la forma 5:ℝ� → ℝ�. RESOLUCIÓN a) Verdadero. Utilizando la igualdad que relaciona las dimensiones del núcleo, del subespacio imagen y del espacio vectorial de origen de la aplicación lineal � se tiene que 78� ℝ� = 78�9�� ���: + 78�9�����: � es inyectiva si y sólo si, �� ��� = -0#�., o lo que es lo mismo si y sólo si, 78�9�� ���: = 0. En este caso, la dimensión del subespacio vectorial imagen resulta 78� ℝ�������� = 78�9�� ���:����������J + 78�9�����: ⇒ 78�9�����: = 2 Debido a que ����� es un subespacio vectorial de ℝ�, se deberá cumplir que 78�9�����: ≤78� ℝ� = 4. Esta condición no resulta contradictoria con la igualdad 78�9�����: = 2, condición que debe cumplir el subespacio imagen cuando la aplicación lineal �:ℝ� → ℝ� es inyectiva. b) Falso. � es sobreyectiva si y sólo si, ����� = ℝ�, es decir, 78�9�����: = 4. 78� ℝ�������� = 78�9�� ���: + 78�9�����:����������� ⇒ 2 = 78�9�� ���: + 4 ⇒ 78�9�� ���: = −2 lo cual es absurdo ya que la dimensión de cualquier subespacio vectorial es siempre positiva, 78��� ��� ≥ 0. 156 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones c) Falso. No es posible encontrar una aplicación lineal 5:ℝ� → ℝ� inyectiva. 5 será inyectiva si y sólo si, �� �5� = -0#�., o lo que es lo mismo, si y sólo si 78�9�� �5�: = 0. De nuevo igualando dimensiones 78� ℝ�������� = 78�9�� �5�:����������J + 78�����5�� ⇒ 78�����5�� = 4 Como ���5� es un subespacio vectorial de ℝ�, 78�����5�� ≤ 2, lo cual contradice la condición para que la aplicación lineal 5 sea inyectiva. d) Verdadero. 5 será sobreyectiva si y sólo si, ���5� = ℝ�, es decir, si y sólo si 78�����5�� = 2 78� ℝ�������� = 78�9�� �5�: + 78�����5������������� ⇒ 78�9�� �5�: = 2 Y es posible que esta última igualdad se verifique puesto que �� �5� es un subespacio vectorial de ℝ� y por tanto, 78�9�� �5�: ≤ 4. C3. Sea la siguiente aplicación lineal �: ; → ], siendo 78�; = � y 78�] = �, con � < �. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si -Z#��, Z#��, … , Z#��. es un sistema libre en ;, entonces -��Z#���, ��Z#���,… , ��Z#���. también lo es en ]. b) Si -��Z#���, ��Z#���,… , ��Z#���. es un sistema libre en ], entonces -Z#��, Z#��, … , Z#��. es libre en ;. RESOLUCIÓN a) Falso. Se utiliza un contraejemplo para demostrar que la afirmación es falsa. Considérense ; = ℝ�, ] = ℝ� y las bases canónicas de los mismos 6 = -���, ���. y 6′ =-��′�, ��′�, ��′�.. Sea la aplicación lineal �:ℝ� → ℝ� tal que ����, ��� = ���, ��, 0�. El sistema -���, ���. es libre en ℝ�, pero el sistema -������, ������. = -�1,1,0�, �2,2,0�. no es libre en ℝ�. b) Verdadero. Esta afirmación se demuestra mediante reducción al absurdo. Supóngase que el sistema -Z#��, Z#��, … , Z#��. es ligado siendo el sistema -��Z#���, ��Z#���,… , ��Z#���. un sistema libre, es decir, que existe algún vector Z#�� que es combinación lineal del resto de vectores del sistema. Supóngase que este vector es el primero Z#�� = ��Z#�� + �� Z#�� +⋯+ �� Z#�� siendo algún �� ≠ 0. Como � es lineal se tiene que ��Z#��� = ����Z#��� + �� ��Z#��� +⋯+ ���� Z#��� siendo algún �� ≠ 0. De esta última igualdad se concluye que ��Z#��� es combinación lineal de los vectores
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