Deposito Algebra lineal (55)

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163 Aplicación lineal 
 
 
M4. Sea la aplicación lineal �: ℝ7 → ℝ� definida por ���, 	, 
, 8� = �2� + 	 − 8, � + 
 +8, −� − 	 + 
 + 28�, 
a) Calcular el transformado del vector 9� = �0,4, −1,3� respecto a �. ¿Es posible que 9� ∈������? 
b) Hallar un vector que respecto a � se transforme en el vector ; � = �1,4,3�. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se define la aplicación lineal � y se calcula la imagen del vector 9� 
 
 
 
El vector 9� no pertenece al núcleo de la aplicación ya que su imagen no es el vector nulo, 
��9�� ≠ 0 �. 
 
b) Se define un vector genérico de ℝ7 y se obtienen los vectores que se transforman en ; � 
mediante la aplicación � 
 
 
 
164 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
De los infinitos vectores que se transforman en el vector ; �, se toma uno cualquiera dando 
valores arbitrarios a las variables 
 e 	 
 
 
 
M5. Sea la aplicación lineal �: /��ℝ� → /��ℝ� definida por 
� <1 2 3% � �= ℎ & ? = @
0 2 + % 3 + =% − 2 0 � + ℎ= − 3 ℎ − � 0 A 
a) Calcular el transformado de B = <			1 2 0−1 1 2			4 0 1? respecto a �. 
b) Calcular la anti-imagen de ! = <			0 3 5−3 0 1			3 1 0? respecto a �. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se define la aplicación � y se calcula la imagen de la matriz B 
 
 
 
 
 
 
165 Aplicación lineal 
b) Se definen la matriz ! y una matriz genérica de dimensión 3x3 
 
Se obtienen las matrices que mediante � se transforman en la matriz ! 
 
 
Los parámetros ��1,1�, ��2,2� y ��3,3� pueden tomar infinitos valores. De las infinitas 
matrices que se transforman en la matriz !, se toma una cualquiera dando valores arbitrarios a 
las variables ��1,1�, ��2,2� y ��3,3�. 
 
 
 
M6. Sean las aplicaciones lineales �: ℝ� → ℝ7, =: ℝ7 → ℝ�	y		ℎ: ℝ� → ℝ�	 definidas por 	���, 	, 
� = �2� + 	, � + 
, 2
, � + 2	�,									=��, 	, 
, 8� = �� + 	 + 
, � + 2
, 	 + 28� y ℎ��, 	, 
� = ��, 	, 	 − 
�. 
Calcular cuando sea posible la matriz y las ecuaciones de las siguientes aplicaciones lineales 
respecto de las bases canónicas: 
a) �F	=. 
b) �F=	Fℎ. 
c) �Fℎ	F=.