Deposito Algebra lineal (57)

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169 Aplicación lineal 
b) Se calcula la matriz de la aplicación respecto de las bases B y ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de esta matriz se obtiene ������ y una base del mismo 
 
 
 
170 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
Una base de ������ calculada respecto de las bases B y ! es G′ = "�1, −2�$. 
 
c) Se comprueba que la base del núcleo obtenida en el segundo apartado es equivalente a la base 
del núcleo obtenida en el primer apartado, ya que el vector de la base GIestá expresado respecto 
a la base B y el vector de la base G respecto de la base canónica. Para comprobarlo, se lleva a 
cabo un cambio de base del vector de la base GI, obteniendo sus coordenadas respecto a la base 
canónica 
 
 
El vector �−3, −3� es proporcional al vector �1,1�. Por tanto, los subespacios generados por 
ambos son iguales, y los núcleos obtenidos en los dos apartados coinciden. 
 
 
 
 
171 Diagonalización 
5 DIAGONALIZACIÓN 
5.1 Vector y valor propio 
Definición: Sean ���,+�, ��,+,·�,∘
 un espacio vectorial y � un endomorfismo en �. Se dice 
que un vector no nulo 	�� ∈ � es un vector propio o autovector de �, si existe un escalar � ∈ � 
tal que ����� = �	��. Al escalar � se le llama valor propio o autovalor de � asociado al vector 
propio ��. 
 Sea � la matriz asociada al endomorfismo �, entonces se cumple que ����� = ���. También se 
dice que �� ∈ � es un vector propio de �, si existe un escalar � ∈ � tal que ��� = �	��. 
5.2 Propiedades de los vectores propios 
Sean ���,+�, ��,+,·�,∘
 un espacio vectorial y � un endomorfismo en �. Entonces 
- Un vector propio de �	está asociado a un único valor propio, o lo que es lo mismo, si �� ∈ � es un vector propio de � asociado a dos valores propios �, � ∈ �, entonces � = �. 
- Si 	�� ∈ � es un vector propio de	� asociado al valor propio � ∈ �, cualquier vector ��	��� ∈ � es un vector propio de 	� asociado al mismo valor propio �. 
- Cualquier valor propio � ∈ � tiene asociados infinitos autovectores de �. 
- Los vectores propios de � asociados al valor propio � ∈ � constituyen un subespacio 
vectorial que se denota por �� y se denomina subespacio propio asociado a �: �� = �	�� ∈ � ∶ ��	��� = �	��� 
o lo que es lo mismo �� = �	�� ∈ � ∶ �� − ����	��� = 0��� = � !�� − ��� 
siendo � la aplicación lineal identidad ��	��� = 	��. 
- Los vectores propios de � asociados a distintos valores propios son linealmente 
independientes.