Deposito Algebra lineal (58)

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172 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
5.3 Cálculo de valores y vectores propios 
Sean ��", +�, �#,+,·�,∘
 un espacio vectorial de dimensión finita $, % un endomorfismo 
definido en " y & = �'���(, '���), … , '���$� una base del mismo. Sea +��� ∈ " un vector propio de % 
asociado el valor propio ,, por tanto 
%�+���� = ,	+���,			 siendo 	+��� ≠ .��� 
Expresado matricialmente %&,& · �+����& = ,�+����&, siendo /0,0 la matriz asociada a %. 
1�22 �23 ⋯ �25�32 �33 ⋯ �35⋮�52 ⋮�53 ⋱⋯ ⋮�5589,9 · 1
�2�3⋮�589 = �1
�2�3⋮�589 
Esta igualdad equivale al sistema lineal de ecuaciones: 
:��22 − ���2 + �23�3 +⋯+ �25�5 = 0�32�2 + ��33−���3 +⋯+ �35�5 = 0⋮�52�2 + �53�3 +⋯+ ��55 − ���5 = 0
; 
Como ��	 es una solución no trivial del sistema homogéneo anterior, debe verificarse que: 
<<
�22 − � �23�32 �33 − � … …… … �25�35⋮ 												⋮⋮ 												⋮ ⋱ ⋱⋮ ⋮ ⋮⋮�52									 �53 … … 		�55 − �<
< = 0 
Esta igualdad se denomina ecuación característica y el determinante polinomio característico del 
endomorfismo � y se representa por =>���: 
=>��� = <<
�22 − � �23�32 �33 − � … …… … �25�35⋮ 												⋮⋮ 												⋮ ⋱ ⋱⋮ ⋮ ⋮⋮�52									 �53 … … 		�55 − �<
< 
Los valores propios del endomorfismo �	son las raíces �2, �3, … , �? ∈ � del polinomio =>��� y 
los vectores propios asociados a los valores propios �@	son los vectores ��@ que cumplen ����@� =�@��@. 
Definición: Se llama multiplicidad algebraica de un autovalor �, al orden de multiplicidad que 
tiene en la ecuación característica y se denota por AB���. 
Definición: Se llama multiplicidad geométrica de un autovalor �, a la dimensión del subespacio 
propio asociado al mismo, ��, y se denota por AC���. 
 
 
173 Diagonalización 
Proposición: Si � es un autovalor de � entonces se verifica que: 
1 ≤ AC��� ≤ AB��� 
5.4 Endomorfismo diagonalizable 
Definición: Se dice que dos matrices � y F de dimensión G son semejantes si existe una matriz 
regular = tal que F = =H2�=. 
Proposición: Si � y F son dos matrices semejantes, entonces: 
- =I��� = =J��� 
- |�| = |F| 
- L!��� = L!�F�, donde L! denota la traza de la matriz, es decir, la suma de los elementos 
de su diagonal principal. 
Definición: Se dice que un endomorfismo es diagonalizable si su matriz asociada � es 
semejante a una matriz diagonal, es decir, si existen una matriz regular = y una matriz diagonal M tales que: 
M = =H2�= 
Definición: Se dice que un endomorfismo	� definido en el espacio vectorial � es diagonalizable 
si existe una base de �	respecto de la cual su matriz asociada es diagonal. Esta base es la 
formada por vectores propios linealmente independientes de �. 
Teorema: Un endomorfismo � definido en un espacio vectorial de dimensión finita � es 
diagonalizable si y sólo si, la suma de las dimensiones de los núcleos de las aplicaciones �� − �N�
, para O = 1, 2,… , ! coincide con la dimensión de �, siendo �2, �3, … , �? ∈ � los 
valores propios del endomorfismo: 
Q�A�� !�� − �2��
 + Q�A�� !�� − �3��
 + ⋯+ Q�A�� !�� − �?��
 = Q�A	��� 
Teorema: Sean ���,+�, ��,+,·�,∘
 un espacio vectorial de dimensión finita G y � un 
endomorfismo definido en �. El endomorfismo � es diagonalizable si y sólo si, se verifica que: 
- El polinomio característico =>��� se descompone completamente en �. 
- Para cada autovalor �N, su multiplicidad algebraica coincide con su multiplicidad 
geométrica, es decir, con la dimensión del subespacio vectorial � !�� − �N�
. 
 
 
174 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
- Sean �2, �3, … , �? ∈ � los autovalores de � con multiplicidad algebraica AB��2�,AB��3�,… ,AB��?� siendo sus respectivas multiplicidades geométricas AC��2�,AC��3�,… ,AC��?�, entonces � es diagonalizable si y sólo si: 
RAB��2� + AB��3� + ⋯+AB��?� = GAB��N
 = AC��N
		para	O = 1, 2,… , ! ; 
Observación: Un endomorfismo � con G autovalores distintos siempre es diagonalizable, 
puesto que verifica las dos condiciones anteriores. 
5.5 Endomorfismo simétrico 
Definición: Se dice que un endomorfismo � definido en el espacio vectorial � es simétrico si: 
����� · V� = �� · ��V��,			∀��, V� ∈ � 
Definición: Se dice que un endomorfismo � es simétrico si su matriz asociada es simétrica. 
5.6 Diagonalización de un endomorfismo simétrico 
Definición: Se dice que la matriz � ∈ X5 es diagonalizable ortogonalmente, si existen una 
matriz ortogonal real = y una matriz diagonal M tales que: 
M = =H2�= = =Y�= 
Teorema: Sean � un espacio vectorial de dimensión G y � un endomorfismo simétrico definido 
en �, entonces � tiene G autovalores reales. 
Teorema: Sean � un espacio vectorial de dimensión G y � un endomorfismo simétrico definido 
en �, entonces los autovectores de � asociados a distintos autovalores son ortogonales dos a 
dos. 
Teorema: Un endomorfismo � es diagonalizable ortogonalmente si y sólo si, es simétrico. 
Teorema: Sea � un espacio vectorial de dimensión G y sea � un endomorfismo simétrico 
definido en �. Entonces, es posible generar una base ortonormal de � formada por los vectores 
propios de �. Esta base ortonormal es la unión de las bases ortonormales de los subespacios 
propios asociados a los valores propios de �.