Deposito Algebra lineal (59)

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175 Diagonalización 
5.7 Forma canónica de Jordan 
Definición: Se denomina matriz elemental o bloque elemental de Jordan de orden A asociado al 
autovalor � y se denota por Z���, a una matriz de orden AxA cuyos elementos son nulos 
exceptuando los elementos situados en la diagonal principal y en la diagonal superior, que 
toman los valores � y 1 respectivamente. 
Z��� = \� 1 ⋯ 00 � ⋱ 0⋮ ⋮ ⋱ 10 0 ⋯ �]^_^ 
Definición: Se dice que la matriz Z es una matriz de Jordan o una forma canónica de Jordan si 
es diagonal por bloques, es decir, si existen los bloques elementales de Jordan Z��2�,Z��3�,… , Z��`� para los que: 
Z = ab
Z��2� Z��3�									⋱							 Z��`�c
d 
Construcción de la forma canónica de Jordan 
Sean ���,+�, ��,+,·�,∘
 un espacio vectorial, �: � → � un endomorfismo y � su matriz 
asociada, siendo � = ℝ, � = ℚ o � = ℂ. Debido a que el endomorfismo � no es siempre 
diagonalizable, no siempre es posible encontrar una matriz diagonal	M y una matriz regular = 
tales que M = =H2�=. En alguno de estos casos es posible hallar una matriz de Jordan Z y una 
matriz regular = tales que Z = =H2�=. Nótese que si � = ℂ, esto siempre es posible. 
Proposición: Sea �: � → � un endomorfismo siendo � un espacio vectorial de dimensión G y 
sea � un autovalor de multiplicidad algebraica AB���. 
Supóngase que AC��� = Q�A�� < AB���, entonces existe k ∈ ℕ tal que: 
�� ⊊ ��3 ⊊ ⋯ ⊊ ��n = ��no2, siendo ��N = � !�� − ���N . 
Además ∀p ∈ ℕ:	p > kr 	⇒ ��nr = ��t. 
Las dimensiones de la cadena de subespacios anterior verifican que: 
Q�A�� < Q�A��3 < ⋯ < Q�A��n = AB��� 
 
 
176 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Destacar que la dimensión del último subespacio de la cadena, ��n, coincide con la multiplicidad 
algebraica del autovalor �, es decir, Q�A��n = AB���. Este subespacio se llama autoespacio 
máximo asociado a �. 
Teorema: Sean �: � → � un endomorfismo y �2, �3, … , �` autovalores del mismo. Entonces, 
para cada subespacio ��u, la aplicación lineal ;�|vwu : ��u → ��u admite una base F��x� tal que la 
matriz asociada a ;�|vwu con respecto a esta base es una matriz de Jordan; el conjunto de 
vectores F = F��2� ∪ F��3� ∪ …∪ F��`� forma una base de � denominada base de Jordan, 
siendo la matriz asociada a � con respecto a dicha base la forma canónica de Jordan: 
Z = ab
Z��2� Z��3�									⋱							 Z��`�c
d 
La matriz = se obtiene colocando las coordenadas de los vectores de la base de Jordan por 
columnas verificándose que Z = =H2�=. 
Algoritmo para la obtención de la forma canónica de Jordan 
Sean ���,+�, ��,+,·�,∘
 un espacio vectorial, �: � → � un endomorfismo y � su matriz 
asociada, siendo � = ℝ, � = ℚ o � = ℂ. El proceso para hallar la forma canónica de Jordan Z 
tal que Z = =H2�= consiste en los siguientes pasos: 
1.- Se calculan los autovalores de �: se obtienen las raíces del polinomio característico |� −�z|	y sus respectivas multiplicidades algebraicas. Supóngase que �2, �3, … , �` ∈ � son los 
autovalores de � siendo AB��2�,AB��3�,… ,AB��`� sus respectivas multiplicidades 
algebraicas. 
2.- Para cada autovalor �x ∀{ = 1, 2, … , | se calcula el subespacio propio ��u. Se sabe que la 
multiplicidad geométrica de cualquier autovalor es siempre menor o igual que la multiplicidad 
algebraica del mismo,	AC��x� ≤ AB��x�, por lo que se deben diferenciar dos casos 
particulares: 
2.1.- Si AC��x� = AB��x� ⇒ Existen AB��x� autovectores linealmente independientes que 
forman la base de Jordan F��x�, siendo la matriz de Jordan correspondiente una matriz 
diagonal: 
Z��� = 1�x 0 ⋯ 00 �x ⋱ 0⋮ ⋮ ⋱ 00 0 ⋯ �x 8^}��u�_^}��u�	
 
 
 
177 Diagonalización 
2.2.- Si AC��x� < AB��x� ⇒ Existen AC��x� bloques elementales de Jordan asociados al 
autovalor �x . Se calcula la cadena de subespacios ��uN = � !�� − �x��N siendo { =1, 2, … , |, que verifica: 
��u ⊊ ��u3 ⊊ ⋯ ⊊ ��unu = ��unuo2, para { = 1, 2, … , | 
y se sigue el siguiente proceso: 
a) Se calcula la diferencia entre las dimensiones de los subespacios ��unu y ��unuH2, pnu =Q�A��unu − Q�A��unuH2	que es el número de vectores linealmente independientes en ��unu −��unuH2. Es decir, pnu es el número de vectores linealmente independientes que pertenecen al 
subespacio ��unu pero no pertenecen al subespacio ��unuH2. Resaltar que estos vectores forman 
una base del subespacio vectorial ��unu − ��unuH2. Sea dicha base F~ = ����2, ���3, … , ���t�u� . 
Para cada vector de esta base se obtiene un bloque elemental de Jordan de orden kx y 
autovalor �x, por lo que en total se construyen pnu bloques elementales de Jordan de 
autovalor �x y dimensión kxxkx. 
Cada uno de estos bloques elementales de Jordan se construye mediante las sucesivas 
imágenes de cada vector de la base F~ respecto la aplicación �� − �x��. 
De esta forma para cada O = 1, 2,… , pnu 	 se obtiene el siguiente conjunto de kx vectores: FnuN ��x� = ;����NnuH2 = �� − �xz� · ���NnuH3, … ,;���N3 = �� − �xz� · ���N2, ���N2 = �� − �xz� · ���N, ���N� 
Obsérvese que: 
�� − �xz����NnuH2 = �� − �xz�3���NnuH3 =	… = �� − �xz�nu���N �����∈	vwu�u������ �� − �xz����NnuH2 = 0 
⇒ ����NnuH2 = �x���NnuH2 ⇒ ���NnuH2 ∈ ��u 
�� − �xz�3	���NnuH3 = ⋯ = �� − �xz�nu���N �����∈	vwu�u������ �� − �xz�3	���NnuH3 = 0 ⇒ 	���NnuH3 ∈ ��u3 
Análogamente se obtiene el vector ���N2 ∈ 	��unuH2. 
Por otro lado, se puede demostrar que	�N2 ∉ 	��unuH3 por reducción al absurdo. Supóngase 
que: 
���N2 ∈ ��unuH3 ⇒ �� − �xz�nuH3���N2 = 0 ��������IH�u��·����������������� �� − �xz�nuH2���N = 0 ⇒ ���N ∈ 	��unuH2 
lo cual es absurdo dado que el vector ���N pertenece al subespacio ��unu − ��unuH2.