Deposito Algebra lineal (60)

Vista previa del material en texto

178 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
De forma similar se puede comprobar que �N3 ∉ ��unuH�, … , 	���NnuH3 ∉ ��u. 
En conclusión se puede asegurar que los vectores del conjunto FnuN ��x� cumplen lo 
siguiente: 
���NnuH2 ∈ ��u , 	���NnuH3 ∈ ��u3 − ��u , … , ���N3 ∈ ��unuH3 − ��unuH�, ���N2 ∈ 	��unuH2 − ��unuH3,	 
���N ∈ ��unu − ��unuH2 
siendo el bloque elemental de Jordan correspondiente a cada uno de los conjunto FnuN ��x�: 
ZN = 1�x 1 ⋯ 00 �x ⋱ 0⋮ ⋮ ⋱ 10 0 ⋯ �x 8nu_nu
 
La unión de todos estos conjuntos, Fnu2 ��x� ∪ Fnu3 ��x� ∪ …Fnut�u��x�, formará una parte de 
la base de Jordan. 
b) Se calcula la diferencia Q�A��unuH2 − Q�A��unuH3. Al igual que en el apartado anterior, 
esta diferencia es el número de vectores linealmente independientes en el subespacio ��unuH2 − ��unuH3. 
Dado que en el apartado a) se obtienen pnu vectores pertenecientes a dicho subespacio, uno 
por cada vector de la base F~ = ����2, ���3, … , ���t�u�, basta seleccionar pnuH2 = Q�A��unuH2 −Q�A��unuH3 − pnu vectores. Estos vectores además de pertenecer al subespacio ��unuH2 y no 
pertenecer al subespacio ��unuH3 deben ser linealmente independientes entre sí y respecto del 
sistema de vectores Fnu2 ��x� ∪ Fnu3 ��x� ∪ …Fnut�u��x� construido hasta el momento. 
Procediendo de forma similar al apartado a), es decir, calculando las sucesivas imágenes de 
cada uno de los nuevos vectores seleccionados mediante la aplicación �� − �x��, se obtiene 
un bloque elemental de Jordan de orden kx − 1 con autovalor �x. 
c) Se realiza el procedimiento del apartado b) hasta el subespacio ��u, donde se eligen, si es 
posible, los vectores que junto con todos los anteriores formarán una base F��x� del 
autoespacio máximo ��unu. 
 
 
179 Diagonalización 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
P1. Calcular los valores y vectores propios del endomorfismo �:ℝ� → ℝ� cuya matriz asociada 
en una determinada base es � = �1 			1 02 −1 20 			1 1�. 
 
RESOLUCIÓN 
Se calcula el polinomio característico del endomorfismo � 
����� = |� − ��| = ��1 			1 02 −1 20 			1 1� − ��
1 0 00 1 00 0 1�� = �
1 − � 			1 02 −1 − � 20 			1 1 − �� =																								= −�� + �� + 5� − 5 
Se resuelve la ecuación característica ����� = 0 y se obtienen los valores propios de � 
−�� + �� + 5� − 5 = 0 ⇒ �� − 1��� − √5��� + √5� = 0 ⇔ � � = 1�� = +√5�� = −√5! 
Para cada valor propio, se calculan los vectores propios asociados. Para calcular los vectores 
propios asociados al valor propio � = 1, basta resolver el sistema de ecuaciones �� − � ��"# =0$#, donde "# = �%, ', (� ∈ ℝ� 
�� − ��"# = 0$# ⇒ �0 			1 02 −2 20 			1 0�*
%'(+ = �
000� ⇒ , ' = 02% − 2' + 2( = 0! 	⇒ ' = 0, % = −(,			∀( ∈ ℝ 
Los vectores propios asociados al valor propio � = 1 forman el subespacio vectorial ./0 = 1�%, ', (�:	% = −(, ' = 02 = 1�−(, 0, (�:	( ∈ ℝ2 = 〈�−1,0,1�〉 
Los vectores propios asociados al valor propio �� = +√5, se obtienen resolviendo el sistema de 
ecuaciones �� − ����"# = 0$#, donde "# = �%, ', (� ∈ ℝ� 
�� − √5��"# = 0$# ⇒ 51 − √5 			1 02 −1 − √5 20 			1 1 − √56*
%'(+ = �
000� ⇒ 
 
180 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
7 �1 − √5�% + ' = 02% + �−1 − √5�' + 2( = 0' + �1 − √5�( = 0 ! ⇒ ' = −�1 − √5�(, % = ( 	∀( ∈ ℝ 
Por lo que los vectores propios asociados al valor propio �� = +√5 forman el subespacio 
vectorial 
./8 = 9�%, ', (�:	% = (, ' = −�1 − √5�(: = 9�(, �−1 + √5�(, (�:	( ∈ ℝ: 	= 〈�1, −1 + √5, 1�〉 
Procediendo de forma similar se obtienen los autovectores asociados a �� = −√5 
�� + √5��"# = 0$# ⇒ 51 + √5 			1 02 −1 + √5 20 			1 1 + √56*
%'(+ = �
000� ⇒ 
7 �1 + √5�% + ' = 02% + �−1 + √5�' + 2( = 0' + �1 + √5�( = 0 ! ⇒ ' = −�1 + √5�(, % = ( 	∀( ∈ ℝ 
Los vectores propios asociados al valor propio �� = −√5 forman el subespacio vectorial 
./; = 9�%, ', (�:	% = (, ' = −�1 + √5�(: = 9�(, �−1 − √5�(, (�:	( ∈ ℝ: = 〈�1,−1 − √5, 1�〉 
 
 
P2. Calcular una matriz �	de orden 3x3 cuyos valores propios son � = 3, 	�� = 1 y �� = −2 
siendo "# = �1,2,1�, "#� = �−1,4,1�	y		"#� = �1,−1,−1� sus correspondientes vectores propios. 
 
RESOLUCIÓN 
Del enunciado se obtienen las matrices ? = �3 0 			00 1 			00 0 −2� y � = �
1 	−1 			12 			4 −11 			1 −1� que cumplen 
la igualdad ? = �@ ��. 
Si ? = �@ �� entonces, � = �?�@ 
� = �1 	−1 			12 			4 −11 			1 −1��
3 0 			00 1 			00 0 −2��
1 	−1 			12 			4 −11 			1 −1�
@ 
 
 = �1 	−1 			12 			4 −11 			1 −1��
3 0 			00 1 			00 0 −2��
			1/2 0 				1/2−1/6 1/3 −1/2			1/3 1/3 	−1 � ⇒ � = �
1 −1 			43 			2 −12 			1 −1�