Deposito Algebra lineal (61)

Vista previa del material en texto

181 Diagonalización 
 
P3. Sea la matriz C = �2 D 01 E 02 0 F� siendo D, E y F parámetros reales. Si se sabe que la traza de C es 6 y que "# = �0,0,1� y "#� = �1,−1,2� son dos vectores propios de C, 
a) Determinar la matriz C. 
b) Calcular el valor de la expresión 3C� − 7C� + 2C − � utilizando los conceptos de valor y 
vector propio. 
 
RESOLUCIÓN 
Si la traza de C es 6, entonces 
2 + E + F = 6 ⇒ E + F = 4 
Si "# es un autovector de C entonces, ∃� 	|	C"# = � "# , es decir 
�2 D 01 E 02 0 F��
001� = � �
001� ⇒ �
00F� = � �
001� ⇒ F = � 
Si "#� es un autovector de C entonces, ∃��	|	C"#� = �� "#�, es decir 
�2 D 01 E 02 0 F��
			1−1		2 � = �� �
			1−1		2� ⇒ I
2 − D = ��1 − E = −��2 + 2F = 2�� ! 
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones anteriores 
JKL
KM E + F = 4F = � 2 − D = ��1 − E = −��2 + 2F = 2��
⇒
JKL
KM D = 0E = 3F = 1� = 1�� = 2
!! 
Por lo que la matriz buscada es C = �2 0 01 3 02 0 1�. 
 
b) Se calcula el tercer valor propio ��	de la matriz C sabiendo que la traza de esta matriz es 
igual a la suma de sus valores propios 
� + �� + �� = 2 + 3 + 1NOOPOOQRSTUT	VW	X = 6 ⇒ �� = 3 
Al valor propio �� le corresponderá un vector propio de la matriz C. Sea "#� = (%, ', ()	 este 
vector, entonces 
 
182 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
C"#� = �� "#� ⇒ �2 0 01 3 02 0 1�*
%'(+ = 3*
%'(+ ⇒ I
2% = 3%% + 3' = 3'2% + ( = 3( ! 	⇒ % = 0, ( = 0	∀' ∈ ℝ 
Los vectores propios correspondientes al valor propio �� son de la forma "#� = (0, ', 0). Se 
toma por ejemplo ' = 1 ⇒ "#� = (0,1,0). 
De modo que se tienen las matrices ? = �1 0 00 2 00 0 3� y � = �
0 			1 00 −1 11 			2 0� que cumplen que ? = �@ C�. Si ? = �@ C� ⇒ C = �?�@ ; 
C� = CC =	 (�?�@ )(�?�@ ) = �?��@ y así sucesivamente con lo que CY = �?Y�@ 
Utilizando esta última igualdad se calcula la expresión pedida 
3C� − 7C� + 2C − � = 3	�?��@ − 7�?��@ + 2�?�@ − ���@ =	 
�(3?� − 7?� + 2? − �)�@ = 
�0 			1 00 −1 11 			2 0� Z3�
1 0 00 2 00 0 3�
� − 7�1 0 00 2 00 0 3�
� + 2�1 0 00 2 00 0 3� − �
1 0 00 1 00 0 1�[ 
�0 			1 00 −1 11 			2 0�
@ = �0 			1 00 −1 11 			2 0��
−3 			0 0		0 −1 0		0 			0 23��
−2 0 1		1 0 0		1 1 0� = �
−1 0 			024 23 			0		4 0 −3� 
 
 
P4. Sean \ = 1]$# , ]$#�, ]$#�2 una base del espacio vectorial .	y � un endomorfismo definido en . 
siendo �(]$# ) = ]$# − 3]$#�, el vector "# = ]$# + 3]$#� un vector propio de � asociado al valor 
propio � = 1 y el vector propio ̂$$# = (1,−1,2) el correspondiente al valor propio �� = 2. 
a) Determinar la matriz asociada a �	en la base	\. 
b) Determinar una matriz diagonal semejante a la del apartado anterior y una base de . respecto 
de la que esta matriz diagonal sea la matriz asociada a �. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Para obtener la matriz asociada a � en la base \ basta hallar �(]$# ), �(]$#�) y �(]$#�) y 
colocarlos en columnas. 
Si �(]$# ) = ]$# − 3]$#� = (1,−3,0)_, la primera columna de la matriz pedida es �			1−3			0�. 
Si "# es un vector propio de � asociado al valor propio 1, entonces 
	�("#) = 1"# ⇒ �(]$# + 3]$#�) = ]$# + 3]$#� 
 
183 Diagonalización 
Utilizando las propiedades de las aplicaciones lineales 
�("#) = �(]$# + 3]$#�) = 	�(]$# ) + 3�(]$#�) = ]$# + 3]$#� ⇒ 3�(]$#�) = ]$# + 3]$#� − �(]$# ) = ]$# + 3]$#� −(]$# − 3]$#�) = 3]$#� + 3]$#� ⇒ �(]$#�) = ]$#� + ]$#� = (0,1,1)_. 
La tercera columna de la matriz pedida es �011�. 
Entonces, la matriz asociada a � en la base \ es �_,_ = �			1 D 0−3 E 1			0 F 1�_,_ siendo D, E, F	 ∈ ℝ. 
Por último, si ̂$$# es un vector propio de � asociado al valor propio 2, entonces 
�($̂$#) = 2$̂$# ⇒ �			1 D 0−3 E 1			0 F 1��
		1−1		2 � = 2�
			1−1			2� ⇒ I
1 − D = 2−3 − E + 2 = −2−F + 2 = 4 ! ⇒ I
D = −1E = 1F = −2! 
Por lo que la matriz buscada es �_,_ = �			1 −1 0−3 			1 1			0 −2 1�_,_ 
 
b) Para determinar la matriz diagonal semejante a �_,_ se obtienen sus autovalores. Dos de ellos 
son conocidos, � = 1 y �� = 2, y falta por calcular un tercer valor propio ��. De la traza de �_,_ se tiene que � + �� + �� = 1 + 2 + �� = 1 + 1 + 1NOOPOOQRSTUT	VW	X ⇒ �� = 0 
Con lo que la matriz diagonal semejante a �_,_ es ? = �1 0 00 2 00 0 0�. 
Para calcular una base de .	respecto de la cual la matriz asociada a � es la matriz diagonal ?, 
basta determinar un autovector asociado a cada autovalor de �_,_. Se sabe que a � = 1 le 
corresponde el vector propio "# = (1,0,3) y que a �� = 2 le corresponde el vector propio $̂$# = (1,−1,2), y hay que determinar un vector propio a# = (%, ', ()	asociado al valor propio �� = 0. 
��a#� = ��a# ⇒ �			1 −1 0−3 			1 1			0 −2 1�*
%'(+ = 0 ⇒ *
%'(+ ⇒ I
% − ' = 0−3% + ' + ( = 0−2' + ( = 0 ! ⇒ % = (2 , ' = (2		∀( ∈ ℝ	 
Los vectores propios correspondientes al valor propio �� son de la forma a# = bU� , U� , (c. Se toma 
por ejemplo ( = 2 ⇒ a# = (1,1,2). 
Entonces la base de .	respecto de la cual la matriz asociada a � es la matriz diagonal ? es d = 1"#, $̂$#, a#2 donde "# = (1,0,3), $̂$# = (1,−1,2) y a# = (1,1,2).