Deposito Algebra lineal (63)

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187 Diagonalización 
RESOLUCIÓN 
Se calculan los autovalores resolviendo la ecuación característica 
|� − ��| = �−D − � 			1 E0 −1 − � 	00 			1 E − �� = �−D − ���−1 − ���E − �� 
|� − ��| = 0 ⇔ I� = −D�� = −1�� = E ! 
Se obtienen tres raíces de la ecuación característica. Se deben estudiar los posibles valores de 
los parámetros reales D y E para analizar los diferentes casos 
 
Caso 1: D ≠ 1 y E ≠ −1 y D ≠ −E 
Se obtienen tres autovalores distintos I� = −D	�� = −1	�� = E	 ! con 
	fT�� � = 1fT���� = 1	fT���� = 1 
Se calculan los subespacios propios asociados a estos autovalores 
Para � = −D se resuelve el sistema �� − � ��"# = 0$#, donde "# = �%, ', (� ∈ ℝ� 
�� + D��"# = 0$# ⇒ �0 	1 E0 D − 1 00 	1 D + E�*
%'(+ = �
000� ⇒ �
' + E( = 0�D − 1�' = 0' + �D + E�( = 0! ⇒ 
' = 0, ( = 0		∀% ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio � = −D es ./0 = 1�%, 0,0�	|	% ∈ ℝ2 = 〈�1,0,0�〉 con fg�� � = 1 
Para �� = −1 se resuelve el sistema �� − ����"# = 0$#, donde "# = �%, ', (� ∈ ℝ� 
�� + ��"# = 0$# ⇒ �−D + 1 1 E			0 0 	0			0 1 E + 1�*
%'(+ = �
000� ⇒ 	,�1 − D�% + ' + E( = 0' + �E + 1�( = 0 ! ⇒ 
% = 11 − D (; 	' = �−1 − E�(		∀( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio �� = −1 es 
./8 = pb @T (, �−1 − E�(, (c	|	( ∈ ℝq = 〈b @T , −1 − E, 1c〉 con fg���� = 1 
Para �� = E se resuelve el sistema �� − ����"# = 0$#, donde "# = �%, ', (� ∈ ℝ� 
�� − E��"# = 0$# ⇒ �−D − E 			1 E			0 −1 − E 0			0 			1 0�*
%'(+ = �
000� ⇒ �
�−D − E�% + ' + E( = 0�−1 − E�' = 0' = 0 ! ⇒ 
 
188 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
% = ED + E (; 	' = 0		∀( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio �� = E es 
./; = pb rTsr (, 0, (c	|	( ∈ ℝq = 〈b rTsr , 0,1c〉 con fg(��) = 1 
Resumen del caso 1 I� = −D	�� = −1	�� = E	 ! con 
fT(� ) = 1 = fg(� )fT(��) = 1 = fg(��)fT(��) = 1 = fg(��) 
La matriz es diagonalizable siendo ? = �−D 0 0		0 −1 0		0 0 E� y 	� = 5
1 @T rTsr0 −1 − E 00 1 1 6. 
 
Caso 2: D = 1 y E ≠ −1 
La matriz del endomorfismo �	 en este caso es � = �−1 			1 E			0 −1 0			0 			1 E� 
Se obtienen dos autovalores distintos ,� = −1	�� = E	 ! con 	fT(� ) = 2fT(��) = 1 
Para � = −1 se resuelve el sistema (� − � �)"# = 0$#, donde (� − � �)"# = 0$# 
(� + �)"# = 0$# ⇒ �0 1 	E0 0 	00 1 E + 1�*
%'(+ = �
000� ⇒ , ' + E( = 0' + (E + 1)( = 0! 	⇒ ' = 0, ( = 0		∀% ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio � = −1 es ./0 = 1(%, 0,0)	|% ∈ ℝ2 = 〈(1,0,0)〉 con fg(� ) = 1 
Como fT(� ) = 2 ≠ fg(� ) = 1, en este caso la matriz no es diagonalizable. 
 
Caso 3: E = −1 y D ≠ 1 
La matriz del endomorfismo �	en este caso es � = �−D 			1 −1			0 −1 			0			0 			1 −1� 
Se obtienen dos autovalores distintos ,� = −1	�� = −D	! con 	fT(� ) = 2fT(��) = 1 
Para � = −1 se resuelve el sistema (� − � �)"# = 0$#, donde "# = (%, ', () ∈ ℝ� 
(� + �)"# = 0$# ⇒ �−D + 1 1 −1			0 0 			0			0 1 			0� *
%'(+ = �
000� ⇒ ,(1 − D)% + ' − ( = 0' = 0 ! 	⇒ 
 
189 Diagonalización 
' = 0, ( = (1 − D)%		∀% ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio � = −1 es ./0 = 1(%, 0, (1 − D)%)	|	% ∈ ℝ2 = 〈(1,0,1 − D)〉 con fg(� ) = 1	
Como fT(� ) = 2 ≠ fg(� ) = 1, en este caso la matriz no es diagonalizable. 
 
Caso 4: D = −E y D ≠ 1 
La matriz del endomorfismo �	en este caso es � = �−D 			1 −D			0 −1 			0			0 			1 −D� 
Se obtienen dos autovalores distintos ,� = −D�� = −1	! con fT(� ) = 2fT(��) = 1 
Para � = −D se resuelve el sistema (� − � �)"# = 0$#, donde "# = (%, ', () ∈ ℝ� 
(� + D�)"# = 0$# ⇒ �0 	1 −D0 D − 1 			00 	1 			0� *
%'(+ = �
000� ⇒ I
' − D( = 0(D − 1)' = 0' = 0 ! 	⇒ 
 
Caso 4.1: Si D ≠ 0 ' = 0, ( = 0		∀% ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio � = −D es ./0 = 1(%, 0,0)	|% ∈ ℝ2 = 〈(1,0,0)〉	 con fg(� ) = 1 
Como fT(� ) = 2 ≠ fg(� ) = 1, en este caso la matriz no es diagonalizable 
 
Caso 4.2: Si D = 0 ' = 0		∀%, ( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio � = −D = 0 es ./0 = 1(%, 0, ()	|% ∈ ℝ2 = 〈(1,0,0), (0,0,1)〉	 con fg(� ) = 2 
Para �� = −1 se resuelve el sistema (� − ���)"# = 0$#, donde "# = (%, ', () ∈ ℝ� 
(� + �)"# = 0$# ⇒ �1 	1 00 0 00 	1 1�*
%'(+ = �
000� ⇒ ,% + ' = 0' + ( = 0! 	⇒ % = (, ' = −( ∀( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio �� = −1	es ./8 = 1((, −(, ()	|% ∈ ℝ2 = 〈(1,−1,1)〉	 con fg(��) = 1