Deposito Algebra lineal (64)

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190 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Resumen del caso 4.2 t 		� = −D	�� = −1	! con 	fT(� ) = 2 = fg(� )fT(��) = 1 = fg(��)	 donde D = 0 
En este caso la matriz es diagonalizable siendo ? = �0 0 			00 0 			00 0 −1� y 	� = �
1 0 			10 0 −10 1 			1�. 
 
Caso 5: D = 1 y E = −1 
La matriz del endomorfismo �	en este caso es � = �−1 			1 −1			0 −1 		0			0 			1 −1� 
Se obtiene un único autovalor � = −1	con	fT(� ) = 3. 
Para � = −1 se resuelve el sistema (� − � �)"# = 0$#, donde "# = (%, ', () ∈ ℝ� 
(� + �)"# = 0$# ⇒ �0 1 −10 0 			00 1 			0� *
%'(+ = �
000� ⇒ ,' − ( = 0' = 0 ! 	⇒ ' = ( = 0	∀% ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio � = −1 es ./0 = 1(%, 0,0)	|% ∈ ℝ2 = 〈(1,0,0)〉	 con fg(� ) = 1 
Como fT(� ) = 3 ≠ fg(� ) = 1, en este caso la matriz no es diagonalizable 
 
 
P7. Sea �:ℝ� → ℝ�	un endomorfismo cuya matriz asociada es 	� = �			1 −1 			0−1 			2 −1			0 −1 			1�.	Calcular 
una base ortonormal respecto de la cual la matriz asociada a �	sea diagonal. 
 
RESOLUCIÓN 
La matriz que caracteriza al endomorfismo � es real y simétrica, por lo que � es diagonalizable 
ortogonalmente. Se resuelve la ecuación característica |� − ��| = 0 para calcular los 
autovalores de � 
|� − ��| = 0 ⇒ �			1 − � −1 		0−1 		2 − � −1			0 −1 		1 − �� = �� − 4�� + 3� = 0 ⇔ I
� = 0	�� = 1�� = 3 ! 
Los autovectores asociados al autovalor � = 0 se calculan resolviendo el sistema 
�"# = 0$# ⇒ �			1 −1 			0−1 		2 −1			0 −1 			1� *
%'(+ = �
000� ⇒ I
% − ' = 0−% + 2' − ( = 0−' + ( = 0 ! ⇒ % = ' = (	∀( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio � = 0 es 
 
191 Diagonalización 
./0 = 1((, (, ()	|	( ∈ ℝ2 = 〈(1,1,1)〉	
Los autovectores asociados al autovalor �� = 1 se calculan resolviendo el sistema 
(� − �)"# = 0$# ⇒ � 		0 −1 			0−1 			1 −1			0 −1 			0�*
%'(+ = �
000� ⇒ 	, −' = 0−% + ' − ( = 0! ⇒ % = −(, ' = 0	∀( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio �� = 1 es ./8 = 1(−(, 0, ()	|	( ∈ ℝ2 = 〈(−1,0,1)〉	
Los autovectores asociados al autovalor �� = 3 se calculan resolviendo el sistema 
(� − 3�)"# = 0$# ⇒ �	−2 −1 			0−1 −1 −1				0 −1 −2�*
%'(+ = �
000� ⇒ I
−2% − ' = 0−% − ' − ( = 0−' − 2( = 0 ! ⇒ 
% = (, ' = −2(	∀( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio �� = 3 es ./; = 1((, −2(, ()	|	( ∈ ℝ	2 = 〈(1,−2,1)〉 
Una vez calculados los subespacios propios asociados a los autovalores, se puede obtener una 
base de ℝ� respecto de la cual la matriz asociada a � es diagonal. La matriz diagonal es 
? = �0 0 00 1 00 0 3� y la base de ℝ�, por ejemplo d = 1"# , "#�, "#�2 donde "# = (1,1,1), "#� =(−1,0,1) y "#� = (1,−2,1). Esta base es una base ortogonal ya que todos los vectores propios 
están asociados a distintos valores propios. 
Para transformar esta base en ortonormal, basta convertir los vectores en unitarios dividiéndolos 
entre su norma 
]$# = "# ‖"# ‖ = (1,1,1)√1� + 1� + 1� = h 1√3 , 1√3 , 1√3i 
]$#� = "#�‖"#�‖ = (−1,0,1)y(−1)� + 0� + 1� = h−1√2 , 0, 1√2i 
]$#� = "#�‖"#�‖ = (1,−2,1)y1� + (−2)� + 1� = h 1√6 ,−2√6 , 1√6i 
 
192 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Entonces la base dz = 1]$# , ]$#�, ]$#�2 donde ]$# = b √� , √� , √�c , 	]$#� = b@ √� , 0, √�c y ]$#� =b √{ , @�√{ , √{c es una base ortonormal de ℝ� respecto de la cual la matriz asociada a � es la matriz 
diagonal ? = �0 0 00 1 00 0 3�. 
 
 
P8. Sea � = �			1 −4 8−4 		7 4			8 		4 1� la matriz asociada al endomorfismo �:ℝ� → ℝ�. Calcular una 
base ortonormal respecto de la cual la matriz asociada a � sea diagonal. 
 
RESOLUCIÓN 
La matriz que caracteriza al endomorfismo � es real y simétrica, por lo que � es diagonalizable 
ortogonalmente. Se resuelve la ecuación característica |� − ��| = 0 para calcular los 
autovalores de � 
|� − ��| = 0 ⇒ �			1 − � −4 8−4 		7 − � 4			8 		4 	1 − �� = −�� + 9��� − 9�� = 0 ⇔	 ,� = −9	�� = 9 ! 
 con fg�� � = 1 y fg���� = 2. 
Los autovectores asociados al autovalor � = −9 se calculan resolviendo el sistema 
�� + 9��"# = 0$# ⇒ �			10 −4 8−4 	16 4			8 		4 10�*
%'(+ = �
000� ⇒ I
10% − 4' + 8( = 0−4% + 16' + 4( = 08% + 4' + 10( = 0 ! ⇒ 
% = −(, ' = − (2	∀( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio � = −9 es 
./0 = pb−(,− (2 , (c	|	( ∈ ℝq = 〈�2,1,−2�〉	
Los autovectores asociados al autovalor �� = 9 se calculan resolviendo el sistema 
�� − 9��"# = 0$# ⇒ �	−8 −4 			8	−4 −2 			4			8 			4 −8�*
%'(+ = �
000� ⇒ −4% − 2' + 4( = 0 ⇒ 
% = −'2 + (		∀', ( ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al valor propio �� = 9 es