Deposito Algebra lineal (66)

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196 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
El sistema a resolver para obtener el subespacio vectorial es 
�
���
0 0 			00 0 			00 8 −8
			0 			1 			0			0 			0 			0−8 −8 		200 0 				00 0 				00 0 				0 		
0 				0 −80 				0 			00 				0 −8 �
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
I %� = 08%� − 8%� − 8%� − 8%� + 20%{ = 0−8%{ = 0 ! ⇒ 7
%� = 0%{ = 0%� = %� + %�∀% , %�, %� ∈ ℝ
! 
Por lo que el subespacio vectorial es 
./0	� = 1	(% , %� + %�, %�, %�, 0,0)	|	% , %�, %� 	 ∈ ℝ2 = 〈(1,0,0,0,0,0), (0,1,1,0,0,0), (0,1,0,1,0,0)〉 
Es decir, el sistema generador de ./0	� consta de tres vectores linealmente independientes, por lo 
que se puede concluir que el sistema generador es una base de ./0	� 	 y que ��f./0	� =3 ≠fT(� ) = 4. 
Dado que la dimensión del subespacio vectorial es inferior a la multiplicidad algebraica del 
autovalor, se debe construir el último subespacio vectorial de la cadena 
./0	� = 9	%# ∈ . ∶ (� − � �)�%# = 0$#: = ���(� − � �)� 
El sistema de ecuaciones lineales que se debe resolver en este caso es 
�
���		
0 		0 	00 		0 	00 −16 16
		0 	0 		0		0 	0 		016 16 −480 				0 				00 				0 				00 				0 				0 		
0 		0 				160 		0 			00 		0 				16�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒
I−16%� + 16%� + 16%� + 16%� − 48%{ = 0%{ = 0 ⇒ I%� = %� + %� + %�%{ = 0∀% , %�, %�, %� ∈ ℝ!! 
Por tanto, el último subespacio vectorial es 
./0	� = 1	(% , %� + %� + %�, %�, %�, %�, 0)	|	% , %�, %�, %� ∈ ℝ2 ⇒ ./0	� = 〈(1,0,0,0,0,0), (0,1,1,0,0,0), (0,1,0,1,0,0), (0,1,0,0,1,0)〉 
Como los cuatro vectores del sistema generador son independientes, se tiene que ��f	./0	� =4 =fT(� ) = 4, por lo que no se construye el siguiente subespacio. 
En resumen, la cadena de subespacios vectoriales obtenidos para el autovalor � = 1 es la 
siguiente ./0 ⊂ ./0	� ⊂ ./0	� ⊂ ./0	� siendo las dimensiones ��f./0 = 1 < ��f./0� = 2 <��f	./0	� = 3	 < ��f./0	� = 4. 
 
197 Diagonalización 
Resaltar que ��f./0	�s − ��f./0	� = 1	∀� = 1,2,3 por lo que cada subespacio vectorial ./0	�s − ./0	� ∀� = 1,2,3 solo tendrá un vector linealmente independiente. 
La base de Jordan correspondiente a este autovalor y al único bloque elemental de Jordan se 
construye de la siguiente forma 
d�8 = 1]$#�, ]$#�, ]$#�, ]$#{2 ]$#{ ∈ ./0	� − ./0	� , es decir, se selecciona un vector ]$#{ ∈ ./0	� pero ]$#{ ∉ ./0	� . 
Sea el vector ]$#{ = (0,1,0,0,1,0), se calculan sus sucesivas imágenes respecto a (� − � �) 
]$#� = (� − � �)]$#{ = (−1,0,1, −1,0,0) ∈ ./0	� − ./0	� ]$#� = (� − � �)]$#� = (2,−1,0, −1,0,0) ∈ ./0	� − ./0 ]$#� = (� − � �)]$#� = (1,0,0,0,0,0) ∈ ./0 
En conclusión, la base de Jordan correspondiente al autovalor � = 1 es d�8 = 1(1,0,0,0,0,0), (2, −1,0,−1,0,0), (−1,0,1,−1,0,0), (0,1,0,0,1,0)2 
Véase a continuación, cual es el bloque elemental de Jordan relacionado con dicha base. Se 
calcula la imagen de ]$#� �(]$#�) = �]$#� 
Por otro lado 
(� − � �)]$#� = (� − � �)�	]$#� = (� − � �)�	]$#� = (� − � �)�	]$#{ �$$#�∈��0	������� (� − � �)]$#� = 0 ⇒�]$#� = � ]$#� ⇒ 	�(]$#�) = � ]$#� 
Se procede de la misma manera con los vectores ]$#�, ]$#� y ]$#{ �(]$#�) = �]$#� ]$#� = (� − � �)]$#� ⇒ ]$#� = �]$#� − � ]$#� ⇒ �]$#� = ]$#� + � ]$#� ⇒ �(]$#�) = ]$#� + � ]$#� �(]$#�) = �]$#� ]$#� = (� − � �)]$#� ⇒ ]$#� = 	�]$#� − � ]$#� ⇒ �]$#� = ]$#� + � ]$#� ⇒ �(]$#�) = ]$#� + � ]$#� �(]$#{) = �]$#{ ]$#� = (� − � �)]$#{ ⇒ ]$#� = 	�]$#{ − � ]$#{ ⇒ �]$#{ = ]$#� + � ]$#{ ⇒ �(]$#{) = ]$#� + � ]$#{ 
En conclusión, la matriz elemental de Jordan es 
 � = 51 1 0 00 1 1 000 00 10 116 
 
198 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Se calculan los subespacios asociados al autovalor �� = −1, cuya multiplicidad algebraica es 	fT(��) = 2. Para obtener el subespacio propio asociado al autovalor �� = −1 basta calcular el 
siguiente núcleo 
./8 = 9	%# ∈ . ∶ (� − ���)%# = 0$#: = ���(� − ���) 
Es decir, basta resolver el sistema lineal 
�
���	
2 		1 	00 		1 	00 			2 	0
−2 −2 			2			1 			1 −1−2 −1 			30 −1 	00 		0 	00 		0 	0
			3 			0 −3			0 		2 			0			0 			0 			0�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ JKL
KM2% + %� − 2%� − 2%� + 2%{ = 0%� + %� + %� − %{ = 02%� − 2%� − %� + 3%{ = 0−%� + 3%� − 3%{ = 02%� = 0
! 	⇒
% = 0, %� = 0, %� = 0, %� = 0, %{ = 0,∀%� ∈ ℝ 
El subespacio propio asociado al autovalor �� = −1 es ./8 = 1	(0,0, %�, 0,0,0)	|	%� ∈ ℝ2 = 	 〈(0,0,1,0,0,0)〉 
Como el subespacio propio esta generado por un único vector, fg(��) = ��f./8 =1 ≠fT(��) = 2 ⇒ Hay un único bloque elemental de Jordan asociado al autovalor �� y se 
construye el siguiente subespacio vectorial de la cadena 
./8	� = 9	%# ∈ . ∶ (� − ���)�%# = 0$#: = ���(� − ���)� 
El sistema de ecuaciones lineales a resolver en este caso es 
�
���
	4 			5 		0	0 			0 		0	0 			4 		0
−9 −7 			9			4 			3 −4−4 				0 			4	0 −4 		0	0 			0 		0	0 			0 		0
				8 	−1 −8				0 				4 			0				0 				0 			0�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
JKL
KM4% + 5%� − 9%� − 7%� + 9%{ = 04%� + 3%� − 4%{ = 04%� − 4%� + 4%{ = 0−4%� + 8%� − %� − 8%{ = 04%� = 0
! 	⇒
JKL
KM % = 0%� = 0%� = %{%� = 0∀%�, %� ∈ ℝ
! 
El subespacio vectorial es 
./8	� = 1(0,0, %�, %�, 0, %�)	|	%�, %� ∈ ℝ	2 = 	 〈(0,0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,1)〉 
Dado que el sistema generador de ./8	� está formado por dos vectores linealmente 
independientes, ��f./8	� = 2 =fT(��), no se construye el siguiente subespacio vectorial. 
Resumiendo, la cadena de subespacios vectoriales obtenidos para el autovalor �� = −1 es ./8 ⊂ ./8	� siendo las dimensiones ��f./8 = 1 < ��f./8	� = 2. Es decir, como ��f./8	� −