Deposito Algebra lineal (67)

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199 Diagonalización 
��f./8 = 1, basta seleccionar un vector del subespacio ./8	� − ./8 y calcular su imagen 
respecto (� − ���). 
Recordar que en este caso al igual que en el caso anterior, solo hay una matriz elemental de 
Jordan correspondiente al autovalor �� = −1, aunque en este caso la base de Jordan estará 
formada solo por dos vectores 
d�0 = 1]$# , ]$#�2 ]$#� ∈ ./8	� − 	./8, es decir, se selecciona un vector ]$#� ∈ ./8	� pero ]$#� ∉ 	./8. Sea el vector ]$#� = (0,0,0,1,0,1). Entonces ]$# = (� − ���)]$#� = (0,0,1,0,0,0) ∈ 	./8 
La base de Jordan correspondiente al autovalor �� = −1 es d�0 = 1(0,0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,1)2 
Para construir la matriz elemental de Jordan se calculan las imágenes de los vectores ]$# y ]$#�	respecto de la aplicación � �(]$# ) = �]$# 
 (� − ���)]$# = (� − ���)�	]$#� �$$#8∈��8	8������ (� − ���)]$# = 0 ⇒ �]$# = ��]$# 
Por lo que: 
�(]$# ) = ��]$# 
Procediendo de forma similar para ]$#� �(]$#�) = �]$#� ]$# = (� − ���)]$#� ⇒ ]$# = �]$#� − ��]$#� ⇒ �]$#� = ]$# + ��]$#� ⇒ �(]$#�) = ]$# + ��]$#� 
Por tanto, la matriz elemental de Jordan es 
  = b−1 			1			0 −1c 
Una vez calculadas las bases de Jordan y las matrices elementales de Jordan correspondientes a 
cada autovalor, se construyen la base completa de Jordan y la forma canónica de Jordan 
La base completa de Jordan se obtiene como la unión de las dos bases anteriores 
d = d�0 ∪ d�8 ⇒ d = 1(0,0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,1), (1,0,0,0,0,0), (2, −1,0,−1,0,0) 
 (−1,0,1,−1,0,0), (0,1,0,0,1,0)2 
La forma canónica de Jordan se obtiene colocando en la diagonal principal las dos matrices 
elementales de Jordan 
 
200 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
  = h   0�¢�0�¢�  � i = �
���
−1 			1 0		0 −1 0		0 			0 1
0 0 00 0 01 0 0			0 				0 0			0 				0 0			0 				0 0
1 1 00 1 10 0 1�
��� 
 
siendo la matriz regular P que cumple la propiedad   = �@ �� la matriz que se obtiene al 
colocar los vectores de la base de Jordan por columnas 
� =
�
���
	0 	0 		1	0 	0 		0	1 	0 		0
		2 −1 	0−1 		0 	1		0 			1 	0	0 	1 		0	0 	0 		0	0 	1 		0
−1 −1 	0			0 			0 	1			0 			0 	0�
��� 
 
 
P10. Obtener la forma canónica de Jordan de la matriz � =
�
���
−1 			0 			0−2 			1 			0−1 			1 			1
		0 		0 			0−1 		0 			0		0 		1 			1		0 			0 		0−2 			2 		0			2 −2 		0
				1 		0 		0			0 			1 		2			1 			0 −1�
���. 
 
RESOLUCIÓN 
Se resuelve la ecuación característica |� − ��| = 0 para calcular los autovalores de la matriz � 
����� = |� − ��|=��
−1 − � 		0 			0			−2 			1 − � 			0			−1 		1 			1 − �
	0 								0 										0−1 								0 										00 									1 										1				0 									0 											0	−2 									2 											0				2 						−2 											0
		1 − � 			0 		0			0 			1 − � 		2			1 			0 −1 − ��
� = �� − 1���� + 1�� 
Los autovalores y sus multiplicidades algebraicas son 
, � = 1�� = −1! donde 		fT�� � = 4fT���� = 2 
A continuación se calcula el subespacio propio correspondiente a cada autovalor así como la 
cadena de subespacios en los casos en los que sea necesario. 
Se calculan los subespacios asociados al autovalor � = 1 cuya multiplicidad algebraica es 	fT�� � = 4. Para obtener el subespacio propio ./0 = 9	%# ∈ . ∶ �� − � ��%# = 0$#: = ����� −� ��	se resuelve el siguiente sistema lineal 
 
201 Diagonalización 
�
���
−2 		0 			0−2 		0 			0−1 			1 			0
			0 0 			0−1 0 			0			0 1 			1		0 		0 		0−2 			2 		0			2 −2 		0
			0 0 			0			0 0 			2			1 0 −2�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
JKL
KM −2% = 0−2% − %� = 0−% + %� + %� + %{ = 0−2% + 2%� + 2%{ = 02% − 2%� + %� − 2%{ = 0
! 	⇒
JKL
KM % = 0%� = 0%� = 0%� = −%{∀	%�, %{ ∈ ℝ
! 
Por lo que el subespacio propio asociado al autovalor � = 1 es ./0 = 1	(0, −%{, %�, 0,0, %{)	|	%�, %{ ∈ ℝ2 = 	 〈(0,0,1,0,0,0), (0, −1,0,0,0,1)〉 
Como se puede observar el sistema generador del subespacio vectorial ./0 está formado por dos 
vectores linealmente independientes, por lo que fg(� ) = ��f./0 = 2 ≠fT(� ) = 4. La 
multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica no coinciden y se construye la cadena de 
subespacios, ./0	� . Se calcula el subespacio vectorial ./0	� ./0	� = 9	%# ∈ . ∶ (� − � �)�%# = 0$#: = ���(� − � �)� 
Para obtener un sistema generador del subespacio vectorial anterior se debe resolver el sistema 
lineal 
�
���
			4 				0 	0			4 				0 	0			0 				0 	0
		0 		0 					0		0 		0 					0		0 		0 					0			0 				0 	0			4 −4 	0−4 			4 	0
		0 		0 					0		0 		0 	−4		0 		0 				4�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
, 4% = 04% − 4%� + 4%{ = 0! 	⇒ I % = 0%� = −%{∀	%�, %�, %�, %{ ∈ ℝ! 
En conclusión, el subespacio vectorial es 
./0	� = 1	(0,−%{, %�, %�, %�, %{)	|%�, %�, %�, %{ ∈ ℝ2 ⇒ ./0	� = 〈(0,0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,0), (0,0,0,0,1,0), (0,−1,0,0,0,1)〉 
El sistema generador de dicho subespacio vectorial está formado por cuatro vectores 
linealmente independientes, es decir, ��f./0	� = 4 =fT(� ). Por esta razón no se calcula el 
siguiente subespacio vectorial. 
Por tanto, la cadena de subespacios y sus dimensiones son 
./0 ⊂ ./0	� siendo las dimensiones ��f./0 = 2 < ��f./0� = 4