Deposito Algebra lineal (68)

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202 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
En este caso, como fg(� ) = ��f./0 = 2 hay dos bloques elementales de Jordan con 
autovalor � = 1. 
Además, como ��f./0� − ��f./0 = 2	, se seleccionan dos vectores linealmente 
independientes del subespacio vectorial ./0� − ./0, uno por boque y se calculan sus respectivas 
imágenes respecto a (� − � �) obteniendo así dos vectores pertenecientes al subespacio 
vectorial ./0. 
Se seleccionan dos vectores ]$#{, ]$#� ∈ ./0� − ./0 , es decir, ]$#{, ]$#� ∈ ./0� pero ]$#{, ]$#� ∉ ./0 ,	sean ]$#{ = (0,0,0,1,0,0) y ]$#� = (0,0,0,0,1,0). Se calculan las imágenes de dichos vectores respecto a (� − � �) obteniendo los vectores ]$#� y ]$#� ]$#� = (� − � �)]$#{ = (0,−1,0,0,0,1) ∈ ./0 ]$#� = (� − � �)]$#� = (0,0,1,0,0,0) ∈ ./0 
Cada vector perteneciente al último subespacio vectorial y su imagen forman una base de Jordan 
y tiene asociada una matriz elemental de Jordan. La primera base de Jordan es 
d�; = 1]$#�, ]$#{2 d�; = 1(0,−1,0,0,0,1), (0,0,0,1,0,0)2 
El bloque elemental de Jordan correspondiente se obtiene calculando la imagen de cada uno de 
los vectores de la base respecto a la aplicación � 
�(]$#�) = �]$#� 
Por otro lado 
(� − � �)]$#� = (� − � �)�	]$#{ �$$#�∈��0	8������ (� − � �)]$#{ = 0 ⇒ �]$#� = � ]$#� ⇒ �(]$#�) = � ]$#� 
Se calcula la imagen del vector ]$#{ �(]$#{) = �]$#{ ]$#� = (� − � �)]$#{ ⇒ ]$#� = �]$#{ − � ]$#{ ⇒ �]$#{ = ]$#� + � ]$#{ ⇒ �(]$#{) = ]$#� + � ]$#{ 
Por tanto, la matriz elemental de Jordan es 
 � = b1 10 1c 
La segunda base de Jordan es 
d�8 = 1]$#�, ]$#�2 d�8 = 1(0,0,1,0,0,0), (0,0,0,0,1,0)2 
A continuación se calcula la matriz elemental de Jordan 
 
203 Diagonalización 
�(]$#�) = �]$#� 
Por otro lado 
(� − � �)]$#� = (� − � �)�	]$#� �$$#�∈��0	8������ (� − � �)]$#� = 0 ⇒ �]$#� = � ]$#� ⇒ �(]$#�) = � ]$#� �(]$#�) = �]$#� ]$#� = (� − � �)]$#� ⇒ ]$#� = �]$#� − � ]$#� ⇒ �]$#� = ]$#� + � ]$#� ⇒ �(]$#�) = ]$#� + � ]$#� 
Por tanto, la matriz elemental de Jordan es 
 � = b1 10 1c 
Se calculan los subespacios asociados al autovalor �� = −1 cuya multiplicidad algebraica es 	fT(��) = 2. Para obtener el subespacio propio asociado al autovalor �� = −1 se calcula el 
siguiente núcleo 
./8 = 9	%# ∈ . ∶ (� − ���)%# = 0$#: = ���(� − ���) 
�
���
			0 			0 0−2 			2 0−1 			1 2
			0 0 0−1 0 0			0 1 1			0 			0 0−2 			2 0			2 −2 0
			2 0 0			0 2 2			1 0 0�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
JKL
KM −2% + 2%� − %� = 0−% + %� + 2%� + %� + %{ = 02%� = 0−2% + 2%� + 2%� + 2%{ = 02% − 2%� + %� = 0
! 	⇒
JKL
KM % = %�%� = 0%� = 0%� = −%{∀	% , %{ ∈ ℝ
! 
El subespacio propio asociado al autovalor �� = −1 es ./8 = 1	(% , % , 0,0,−%{, %{)	|	% , %{ ∈ ℝ2 = 	 〈(1,1,0,0,0,0), (0,0,0,0, −1,1)〉 
El sistema generador del subespacio propio consta de dos vectores linealmente independientes, 
es decir, ��f./8 =2 = fT(��). En este caso, como la dimensión algebraica y la dimensión 
geométrica coinciden no se construye la cadena de subespacios. Los vectores de la base de 
Jordan son los vectores propios del autovalor �� = −1 siendo el bloque de Jordan 
correspondiente una matriz diagonal, es decir, la base de Jordan es 
d�0 = 1(1,1,0,0,0,0), (0,0,0,0, −1,1)2 
siendo el bloque de Jordan 
  = b−1 			0			0 −1c 
 
204 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
En conclusión, la base completa de Jordan es 
d = d�0 ∪ d�8 ∪ d�; d = 1(1,1,0,0,0,0), (0,0,0,0,−1,1), (0,0,1,0,0,0), (0,0,0,0,1,0), (0, −1,0,0,0,1), (0,0,0,1,0,0)2 
Y la matriz de Jordan es 
  = �   0�¢� 0�¢�0�¢�  � 0�¢�0�¢� 0�¢�  � � = �
���
−1 			0 0		0 −1 0		0 			0 1
0 0 00 0 01 0 0			0 				0 0			0 				0 0			0 				0 0
1 0 00 1 10 0 1�
��� 
siendo la matriz regular � que cumple la propiedad   = �@ �� 
� =
�
���
		1 			0 	0		1 			0 	0		0 			0 	1
0 0 00 −1 00 0 0		0 		0 0		0 −1 0		0 			1 0
0 		0 		11 		0 		00 		1 		0�
��� 
 
 
P11. Obtener la forma canónica de Jordan de la matriz � =
�
���	
1 0 −20 1 			00 0 −1
−1 	0 			0			0 	0 			0−1 	0 			00 0 			40 0 			00 0 16
				3 	0 		0			0 	1 −1			8 	4 −3�
���. 
 
RESOLUCIÓN 
Se calcula el polinomio característico de la matriz � 
��(�) = ��
1 − � 	0 −2	0 1 − � 	0	0 0 −1 − �
−1 								0 									0			0 								0 									0−1 								0 									0000
							0							0							0
										4										0								16 			
3 − � 			0 		00 1 − � 				−18 			4 −3 − ��
� = (� − 1)�(� + 1)� 
Por lo que los autovalores de la matriz y las correspondientes multiplicidades algebraicas son 
(� − 1)�(� + 1)� = 0 ⇒ , � = 1�� = −1! donde fT(� ) = 4fT(��) = 2 
Se obtienen los subespacios asocidados al autovalor � = 1 cuya multiplicidad algebraica es 	fT(� ) = 4. El subespacio propio se calcula resolviendo el siguiente sistema 
./0 = 9	%# ∈ . ∶ (� − � �)%# = 0$#: = ���(� − � �)