Deposito Algebra lineal (69)

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205 Diagonalización 
�
���	
0 0 −20 0 			00 0 −2
−1 	0 			0			0 	0 			0−1 	0 			00 0 			40 0 			00 0 16
				2 	0 		0			0 	0 −1			8 	4 −4�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
JKL
KM −2%� − %� = 0−2%� − %� = 04%� + 2%� = 0−%{ = 016%� + 8%� + 4%� − 4%{ = 0
! 	⇒ 7 %� = −2%�%{ = 0%� = 0∀% , %�, %� ∈ ℝ
! 
Por lo que el subespacio propio asociado al autovalor � = 1 es ./0 = 1	(% , %�, %�, −2%�, 0,0)	|	% , %�, %� ∈ ℝ2 ⇒ ./0 =	 〈(1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,−2,0,0)〉 
Dicho subespacio esta generado por tres vectores linealmente independientes, por lo que fg(� ) = ��f./0 = 3 ≠fT(� ) = 4 ⇒ Se construye el siguiente subespacio vectorial 
./0	� = 9	%# ∈ . ∶ (� − � �)�%# = 0$#: = ���(� − � �)� 
El sistema de ecuaciones lineales a resolver en este caso es 
�
���
0 0 				00 0 				00 0 				0
			0 					0 			0			0 					0 			0			0 					0 			0	0 0 			0	0 0 −16	0 0 −64
			0 			0	 0−8 −4 4−32 −16 12�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
, −16%� − 8%� − 4%� + 4%{ = 0−64%� − 32%� − 16%� + 16%{ = 0! 	⇒ I %{ = 0%� = −4%� − 2%�∀% , %�, %�, %� ∈ ℝ! 
El subespacio vectorial es 
./0	� = 9�% , %�, %�, %�, − 4%� − 2%�, 0�|	% , %�, %�, %� ∈ ℝ: ⇒ ./0	� = 〈(1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,0, −4,0), (0,0,0,1,−2,0)〉 ./0	� esta generado por cuatro vectores linealmente independientes, por lo que ��f./0	� =4 =fT(� ) y no se calcula el siguiente subespacio vectorial. 
En conclusión, la cadena de subespacios que se ha obtenido para el autovalor � = 1 es ./0 ⊂ ./0	� siendo las correspondientes dimensiones ��f./0 = 3 < ��f./0� = 4. 
Como ��f./0 = 3, hay tres bloques elementales de Jordan con autovalor � = 1. Es más, 
como ��fE¤0� −	��f E¤0 = 1, en este caso la base completa de Jordan estará formada por un 
vector del subespacio vectorial ./0� − ./0 y tres vectores del subespacio vectorial ./0. Se 
 
206 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
selecciona el único vector del subespacio vectorial ./0� − ./0, es decir, un vector ]$#{ ∈ ./0	� pero ]$#{ ∉ ./0. Por ejemplo sea el vector ]$#{ = (0,0,1,0,−4,0), se calcula su imagen respecto (� − � �), ]$#� = (� − � �)]$#{ = (−2,0,−2,4,0,0) ∈ ./0 
de esta forma se obtienen un vector ]$#{ ∈ ./0� − ./0 y otro vector ]$#� ∈ ./0. Como ��f./0 = 3, 
faltan por seleccionar dos vectores pertenecientes al subespacio vectorial ./0 que sean 
linealmente independientes entre sí y respecto de los vectores ]$#� y ]$#{. Sean dichos vectores ]$#� = (1,0,0,0,0,0) y ]$#� = (0,1,0,0,0,0). 
La primera base de Jordan es 
d�� = 1]$#�, ]$#{2 d�� = 1(−2,0,−2,4,0,0), (0,0,1,0,−4,0)2 
La matriz elemental de Jordan correspondiente a esta base se obtiene calculando las imagen de 
los vectores ]$#�, ]$#{ �(]$#�) = �]$#� 
Por otro lado 
(� − � �)]$#� = (� − � �)�	]$#{ �$$#�∈��0	8������ (� − � �)]$#� = 0 ⇒ �]$#� = � ]$#�cir, �(]$#�) = � ]$#� �(]$#{) = � · ]$#{ ]$#� = (� − � �)]$#{ ⇒ ]$#� = �]$#{ − � ]$#{ ⇒ �]$#{ = ]$#� + � ]$#{ ⇒ �(]$#{) = ]$#� + � ]$#{ 
Por tanto, la matriz elemental de Jordan es 
 � = b1 10 1c 
La segunda base de Jordan correspondiente al autovalor � = 1 es d�; = 1]$#�2 d�; = 1(1,0,0,0,0,0)2 
Como el vector ]$#� ∈ ./0, la matriz elemental de Jordan correspondiente a esta base es  � = (1) 
Por último, la tercera y última base de Jordan correspondiente al autovalor � = 1 es la base 
formada por el vector ]$#� d�8 = 1]$#�2 d�8 = 1(0,1,0,0,0,0)2 
 
207 Diagonalización 
Y la matriz elemental de Jordan asociada a esta base es 
	 � = (1) 
Se calculan los subespacios asociados al autovalor �� = −1 cuya multiplicidad algebraica es 	fT(��) = 2. El subespacio propio asociado al autovalor �� = −1 es el siguiente núcleo 
./8 = 9	%# ∈ . ∶ (� − ���)%# = 0$#: = ���(� − ���) 
Por tanto, se debe resolver el sistema 
�
���	
2 0 −20 2 			00 0 			0
−1 0 			0		0 0 			0−1 0 			00 0 			40 0 			00 0 16
			4 	0 		0			0 	1 −1			8 	4 −2�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
JKL
KM 2% − 2%� − %� = 02%� = 0−%� = 04%� + 4%� = 02%� − %{ = 016%� + 8%� + 4%� − 2%{ = 0
! 	⇒
JKL
KM % = 0%� = 0%� = 0%� = 0%{ = 2%�∀%� ∈ ℝ
! 
El subespacio propio asociado al autovalor �� = −1 es ./8 = 1	(0,0,0,0, %�, 2%�)	|	%� ∈ ℝ2 = 	 〈(0,0,0,0,1,2)〉 
Como el sistema generador del subespacio propio consta de un único vector, fg(��) = ��f./8 = 1 ≠fT(��) = 2, se debe calcular el subespacio vectorial ./8	� 
./8	� = 9	%# ∈ . ∶ (� − ���)�%# = 0$#: = ���(� − ���)� 
�
���
4 0 −80 4 			00 0 	−4
−4 0 0			0 0 0−4 0 00 0 		160 0 −160 0 				0
	12 0 0−8 0 0			0 0 0�
���·�
��
% %�%�%�%�%{�
�� =
�
��
000000�
�� ⇒ 
JKL
KM4% − 8%� − 4%� = 04%� = 0−4%� − 4%� = 016%� + 12%� = 0−16%� − 8%� = 0
! 	⇒
JKL
KM % = 0%� = 0%� = 0%� = 0∀%�, %{ ∈ ℝ
! 
Por tanto el segundo subespacio vectorial es 
./8	� = 1	(0,0,0,0, %�, %{)|	%�, %{ ∈ ℝ2 = 〈(0,0,0,0,1,0), (0,0,0,0,0,1)〉