Deposito Algebra lineal (70)

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208 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
./8	� es el último subespacio vectorial a calcular dado que su dimensión coincide con la 
multiplicidad algebraica del autovalor ��, es decir, ��f./8	� = 2 =fT(��). 
En este caso la cadena de subespacios es ./8 ⊂ ./8	� siendo las dimensiones ��f./8 = 1 <��f./8	� = 2 y la diferencia entre ellas, ��f./8	� −��f./8 = 1.		Por tanto, se tienen un único 
bloque elemental de Jordan y bastará seleccionar un único vector ]$#� ∈ ./8	� − 	./8 y calcular su 
imagen respecto (� − ���) para obtener una base de Jordan d�0 = 1]$# , ]$#�2 
Se escoge un vector ]$#� ∈ ./8	� − 	./8, es decir, el vector ]$#� perteneciente al subespacio vectorial ./8	� pero no perteneciente a 	./8. Sea el vector ]$#� = (0,0,0,0,0,1), se calcula su imagen 
respecto de (� − ���) ]$# = (� − ���)]$#� = (0,0,0,0,−1,−2) ∈ 	./8. 
La base de Jordan correspondiente al autovalor �� = −1 es d�0 = 1(0,0,0,0,−1,−2), (0,0,0,0,0,1)2 
A continuación se construye la única matriz elemental de Jordan correspondiente al autovalor �� = −1 �(]$# ) = �]$# 
Por otro lado 
(� − ���)]$# = (� − ���)�	]$#� �$$#8∈��8	8������ (� − ���)]$# = 0 ⇒ �]$# = ��]$# ⇒ �(]$# ) = ��]$# �(]$#�) = �]$#� ]$# = (� − ���)]$#� ⇒ ]$# = �]$#� − ��]$#� ⇒ �]$#� = ]$# + ��]$#� ⇒ �(]$#�) = ]$# + ��]$#� 
Por tanto, la matriz elemental de Jordan es 
  = b−1 			1			0 −1c 
En resumen, uniendo todas las bases se obtiene la base completa de Jordan 
d = d�0 ∪ d�8 ∪ d�; ∪ d�� 
Esto es 
d = 1(0,0,0,0,−1,−2), (0,0,0,0,0,1), (0,1,0,0,0,0), (1,0,0,0,0,0),!!(−2,0,−2,4,0,0), (0,0,1,0,−4,0)2 
siendo la matriz de Jordan 
 
209 Diagonalización 
  = ¥   0�¢ 0�¢ 0�¢�0 ¢�  � 0 ¢ 0 ¢�0 ¢�0�¢� 0 ¢ 0�¢  �0�¢ 0 ¢� � ¦=�
���
−1 			1 0		0 −1 0		0 			0 1
0 0 00 0 00 0 0			0 				0 0			0 				0 0			0 				0 0
1 0 00 1 10 0 1�
��� 
La matriz regular P que cumple la propiedad   = �@ �� se obtiene al colocar los vectores de la 
base de Jordan por columnas 
� =
�
���
			0 0 0			0 0 1			0 0 0
		1 −2 				0		0 			0 				0		0 −2 				1			0 0 0−1 0 0−2 1 0 		
0 				4 			00 			0 −40 			0 			0�
��� 
 
 
 
210 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
CUESTIONES RESUELTAS 
 
C1. Sea � un endomorfismo definido en un espacio vectorial (., �,∘) de dimensión ̈ y sea � la 
matriz regular asociada al mismo. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o 
falsas. Si las afirmaciones son ciertas calcular el autovalor correspondiente. 
a) Si "# es un autovector de �, entonces "# es un autovector de �Y, siendo © ≥ 0. 
b) Si "# es un autovector no nulo de �, entonces "# es un autovector de �@ . 
 
RESOLUCIÓN 
a) Verdadero. Si "# es un autovector de �, ∃� ∈ �: �"# = �"#. Por otro lado, el vector "# será un 
autovector de �Y si ∃« ∈ �:�Y"# = «"#. 
Utilizando el método de inducción se demuestra que "# es un autovector de �Y. 
Se demuestra esta igualdad para el caso © = 2. Partiendo de la igualdad �"# = �"# y 
multiplicando ambos lados de la misma por la matriz � 
�"# = �"# ⇒ 	�(�"#) = �(�"#) ⇒ 	��"# = �(�"#) 
Como "# es un autovector de � 
��"# = � (�"#)¬ ⇒/­$# ��"# = ��"#	 
Por lo que "# es un autovector de �� siendo �� el autovalor que le corresponde. 
Supóngase que la afirmación es cierta para © − 1, es decir, que si "# es un autovector de �, 
entonces es un autovector de �Y@ con autovalor asociado �Y@ , es decir, �Y@ "# = �Y@ "#. 
Se demuestra que "# es un autovector de �Y 
�"# = �"# ⇒ 	�Y@ (�"#) = �Y@ (�"#) ⇒ 	�Y"# = � (�Y@ "#)NOPOQ/®¯0­$# ⇒ �Y"# = �Y"# 
Por lo que queda demostrado que "# es un autovector de �Y, siendo �Y el autovalor 
correspondiente. 
 
b) Verdadero. Como "# es un autovector de �, ∃� ∈ �:�"# = �"#. Por otro lado, el vector "# será 
un autovector de �@ si ∃« ∈ �: �@ "# = «"#. 
Partiendo de la igualdad �"# = �"# y multiplicando ambos lados de la misma por la matriz �@ , 
que existe por ser � regular, se obtiene 
�"# = �"# ⇒ 	�@ (�"#) = �@ (�"#) ⇒ 	�"# = �(�@ "#) ⇒ "# = �(�@ "#) 
Si � ≠ 0 existe su simétrico / en el cuerpo �. Con lo que de la última igualdad se tiene