Deposito Algebra lineal (71)

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211 Diagonalización 
"# = �(�@ "#) ⇒ �@ "# = 1� "# 
Esto significa que ∃« = / ∈ �: �@ "# = «"#, es decir, que "# es un autovector de �@ , siendo « = / el autovalor que le corresponde. 
Si � = 0 ⇒ |�| = 0, por ser el valor del determinante de una matriz el producto de sus 
autovalores. Entonces A no es regular, lo cual se contradice con el enunciado. 
 
 
C2. Sea � un endomorfismo definido en un espacio vectorial �., �,∘� y sean ]$# y ]$#� dos 
autovectores linealmente independientes cuyos autovalores son respectivamente � y �� 
(� ≠ ���. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si las afirmaciones 
son ciertas calcular el autovalor correspondiente. 
a) ̂$$# = 2]$# es un autovector de �. 
b) "# = 2]$# + 3]$#� es un autovector de �. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Verdadero. Como ]$# es un autovector de � y � es el autovalor que le corresponde, entonces ��]$# � = � ]$# . Se calcula el valor de ��$̂$#� utilizando la linealidad de la aplicación � y sabiendo 
que ]$# es un autovector de � ��$̂$#� = ��2]$# � = 2��]$# � = 2� ]$# ⇒ ��$̂$#� = « ]$# siendo « = 2� 
Con lo que queda demostrado que si ]$# es un autovector de � siendo � su autovalor 
correspondiente, entonces, $̂$# = 2]$# es un autovector de �, siendo su autovalor correspondiente « = 2� . Utilizando el mismo procedimiento se podría demostrar que $̂$# = α]$# es un 
autovector con autovalor « = α� . 
 
b) Falso. El vector "# es un autovector de � si existe « ∈ � tal que ��"#� = «"#, es decir 
��"#� = «�2]$# + 3]$#�� 
Se calcula el valor de ��"#� utilizando la linealidad de la aplicación � y sabiendo que ]$# y ]$#� 
son autovectores de � 
��"#� = ��2]$# + 3]$#�� = 2��]$# � + 3��]$#�� = 2� ]$# + 3��]$#� ⇒ 																												��"#� = 2� ]$# + 3��]$#� 
Igualando ambas expresiones de ��"#� se tiene 
«�2]$# + 3]$#�� = 2� ]$# + 3��]$#� ⇒ 2�« − � �]$# + 3�« − ���]$#� = 0 
 
212 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Como ]$# y ]$#� son dos autovectores linealmente independientes, de la igualdad anterior se 
concluye que « − � = 0 y « − �� = 0. Esto es, « = � = ��. Pero esto no es cierto, ya que los 
autovalores � y �� son distintos. 
 
 
C3. Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Sean � y ± dos endomorfismos 
definidos en el espacio vectorial (., �,∘) y sean � y d las matrices asociadas a los mismos. Si "# 
es un autovector de � y de d, entonces, es un autovector de � · d. 
 
RESOLUCIÓN 
Verdadero. Como "# es un autovector de � y de d,	 ∃� ∈ �: �"# = �"# y ∃² ∈ �: d"# = ²"#. 
Por otro lado, "# será un autovector de �d si ∃« ∈ �: (�d)"# = «"#. Partiendo de la expresión (�d)"# (�d)"# = � (d"#)¬³­$# = �(²"#) = ² · �"#́/­$# = ²�"# ⇒ (�d)"# = ²�"# 
Por lo que ∃« = ²� ∈ �: (�d)"# = «"#, es decir, "# es un autovector de �d. 
 
 
C4. Sea el endomorfismo diagonalizable � definido en ℝY y sea � su matriz asociada. Sean � = 0 y �� = 2 autovalores de � siendo sus multiplicidades algebraicas ² = (© − 1) y ²� = 1 respectivamente. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 
a) ��f(����) = © − 1 
b) � es una matriz regular. 
 
RESOLUCIÓN 
a) Verdadero. Como � es diagonalizable, la multiplicidad algebraica y la geométrica de los 
autovalores coinciden. Es decir, ��f	(./µ) = fT(��), siendo fT(��) la multiplicidad 
algebraica del autovalor ��. 
Como � = 0	 ⇒ 	./0 = ���(� − � �) = ���(�), entonces, ��f	(./0) = ��f����(�)� =© − 1. Por lo que queda demostrada la igualdad. 
 
b) Falso. Como � es diagonalizable 
��(�) = |� − ��| = �	� − � �Y@ �	� − ��� = �Y@ �	� − 2� 
 
213 Diagonalización 
Sustituyendo � = 0 en la expresión anterior 
��(0) = |�| = 0 
Dado que el determinante de la matriz � es nulo, la matriz no es regular.