Deposito Algebra lineal (72)

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214 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
EJERCICIOS RESUELTOS CON MATHEMATICA 
 
M1. Calcular los valores y vectores propios del endomorfismo �:ℝ� → ℝ� cuya matriz 
asociada en una determinada base es � = �1 			1 02 −1 20 			1 1�. 
 
RESOLUCIÓN 
 
Se define la matriz � asociada al endomorfismo 
 
Se calcula el polinomio característico y se resuelve la ecuación característica obteniendo los 
autovalores de � 
 
 
 
 
 
 
215 Diagonalización 
 
 
Se calculan los autovectores correspondientes a los autovalores anteriores 
 
 
 
Los autovectores correspondientes al autovalor �� = 1 son de la forma �– ��	,0, ��	� y 
��� = ��–��	,0, ��	�:	�� ∈ ℝ	� = 〈�−1,0,1�〉 
es un subespacio vectorial de dimensión 1. Dando cualquier valor a �� se obtiene un autovector 
que forma una base de este subespacio vectorial 
 
Se procede de la misma manera para los demás autovalores obteniéndose los autovectores que 
forman la base de los subespacio vectoriales propios. Así, para � = −√5 
 
 
 
216 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
El subespacio propio correspondiente a � = −√5 es 
��# = $�%, �−1 − √5�%, %�:	% ∈ ℝ& = 〈�1,−1 − √5, 1�〉 
Finalmente, se calcula el subespacio propio asociado al autovalor �� = +√5 
 
 
 
En consecuencia, ��( = $�%, �−1 + √5�%, %�:	% ∈ ℝ& 	= 〈�1,−1 + √5, 1�〉. 
Los autovectores )*�, )* y )*� forman una base de ℝ�, siendo la matriz asociada al 
endomorfismo � respecto a dicha base, la matriz diagonal + formada por los autovalores ��, � 
y ��. 
 
Se comprueba que se cumple la igualdad + = ,-��, siendo , la matriz formada al colocar en 
columnas los autovectores linealmente independientes